数学C 空間ベクトル 問題 24 解説

方針・初手

$A',B',C'$ はそれぞれ $OA,OB,OC$ を $2:1$ に内分するので、

$$ \overrightarrow{OA'}=\frac{2}{3}\vec a,\quad \overrightarrow{OB'}=\frac{2}{3}\vec b,\quad \overrightarrow{OC'}=\frac{2}{3}\vec c $$

である。まず $D$ は平面 $OBC$ 上の点なので、$\vec b,\vec c$ の一次結合で表す。次に $E$ は直線 $AD$ 上にあることと、平面 $A'BC$ 上にあることを同時に用いる。

解法1

まず、$D$ は直線 $BC'$ 上にあるから、実数 $s$ を用いて

$$ \overrightarrow{OD} =(1-s)\vec b+s\cdot \frac{2}{3}\vec c =(1-s)\vec b+\frac{2s}{3}\vec c $$

と表せる。

また、$D$ は直線 $B'C$ 上にもあるから、実数 $t$ を用いて

$$ \overrightarrow{OD} =(1-t)\frac{2}{3}\vec b+t\vec c =\frac{2(1-t)}{3}\vec b+t\vec c $$

と表せる。

四面体 $OABC$ において $\vec b,\vec c$ は一次独立であるから、係数を比較して

$$ 1-s=\frac{2(1-t)}{3},\quad \frac{2s}{3}=t $$

を得る。第2式より $t=\dfrac{2s}{3}$ である。これを第1式に代入すると、

$$ 1-s=\frac{2}{3}\left(1-\frac{2s}{3}\right) $$

より、

$$ 9-9s=6-4s $$

したがって、

$$ s=\frac{3}{5} $$

である。よって

$$ \overrightarrow{OD} =\left(1-\frac{3}{5}\right)\vec b+\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{5}\vec c =\frac{2}{5}\vec b+\frac{2}{5}\vec c $$

となる。したがって、

$$ \overrightarrow{OD}=\frac{2}{5}(\vec b+\vec c) $$

である。

次に、$E$ は直線 $AD$ 上にあるので、実数 $u$ を用いて

$$ \overrightarrow{OE} =(1-u)\vec a+u\overrightarrow{OD} $$

と表せる。いま

$$ \overrightarrow{OD}=\frac{2}{5}(\vec b+\vec c) $$

であるから、

$$ \overrightarrow{OE} =(1-u)\vec a+\frac{2u}{5}\vec b+\frac{2u}{5}\vec c $$

である。

一方、$E$ は平面 $A'BC$ 上にある。したがって、実数 $\lambda,\mu,\nu$ を用いて

$$ \overrightarrow{OE} =\lambda\overrightarrow{OA'}+\mu\vec b+\nu\vec c,\quad \lambda+\mu+\nu=1 $$

と表せる。ここで $\overrightarrow{OA'}=\dfrac{2}{3}\vec a$ だから、

$$ \overrightarrow{OE} =\frac{2\lambda}{3}\vec a+\mu\vec b+\nu\vec c $$

である。

これを

$$ \overrightarrow{OE} =(1-u)\vec a+\frac{2u}{5}\vec b+\frac{2u}{5}\vec c $$

と比較すると、

$$ \frac{2\lambda}{3}=1-u,\quad \mu=\frac{2u}{5},\quad \nu=\frac{2u}{5} $$

である。よって

$$ \lambda=\frac{3}{2}(1-u) $$

となる。さらに $\lambda+\mu+\nu=1$ より、

$$ \frac{3}{2}(1-u)+\frac{2u}{5}+\frac{2u}{5}=1 $$

すなわち、

$$ \frac{3}{2}-\frac{3u}{2}+\frac{4u}{5}=1 $$

である。整理すると、

$$ \frac{1}{2}-\frac{7u}{10}=0 $$

より、

$$ u=\frac{5}{7} $$

を得る。

したがって、

$$ \overrightarrow{OE} =\left(1-\frac{5}{7}\right)\vec a +\frac{2}{5}\cdot \frac{5}{7}\vec b +\frac{2}{5}\cdot \frac{5}{7}\vec c $$

であるから、

$$ \overrightarrow{OE} =\frac{2}{7}\vec a+\frac{2}{7}\vec b+\frac{2}{7}\vec c $$

となる。

よって、

$$ \overrightarrow{OE} =\frac{2}{7}(\vec a+\vec b+\vec c) $$

である。

解説

この問題では、交点を直接図形的に追うよりも、各直線上の点をパラメータで表して係数比較するのが基本である。

特に $D$ は平面 $OBC$ 上の点なので、$\vec b,\vec c$ の係数だけを比較すればよい。次に $E$ は直線 $AD$ 上にあるため、$A$ から $D$ へ進む比を $u$ とおくと自然に表せる。

平面 $A'BC$ 上にある条件は、$A',B,C$ の係数和が $1$ になるというアフィン結合の形で処理する。ここで単なる一次結合ではなく、係数和が $1$ であることを使う点が重要である。

答え

(1)

$$ \overrightarrow{OD}=\frac{2}{5}(\vec b+\vec c) $$

(2)

$$ \overrightarrow{OE}=\frac{2}{7}(\vec a+\vec b+\vec c) $$