数学C 空間ベクトル 問題 27 解説

方針・初手

点 $Q$ は $yz$ 平面上にあるので、$Q=(0,u,v)$ とおく。直線 $PQ$ を媒介変数で表し、$z=0$ となる点を $R=(x,y,0)$ として、$u,v$ を $x,y$ で表す。

その後、$Q$ が満たす円の方程式

$$ u^2+(v-3)^2=1 $$

に代入すれば、$R$ の軌跡の方程式が得られる。

解法1

$Q=(0,u,v)$ とおく。このとき、$Q$ は円

$$ u^2+(v-3)^2=1 $$

上を動く。したがって $v$ の範囲は $2\leqq v\leqq4$ であり、特に $v\ne1$ である。

直線 $PQ$ 上の点を、媒介変数 $t$ を用いて

$$ (1,0,1)+t{(0,u,v)-(1,0,1)} $$

と表す。すなわち

$$ (x,y,z)=(1-t,tu,1+t(v-1)) $$

である。

この直線と $xy$ 平面との交点 $R$ では $z=0$ であるから、

$$ 1+t(v-1)=0 $$

より

$$ t=-\frac{1}{v-1} $$

である。したがって

$$ x=1-t=1+\frac{1}{v-1}=\frac{v}{v-1} $$

また

$$ y=tu=-\frac{u}{v-1} $$

である。

まず $x$ の式から $v$ を $x$ で表す。

$$ x=\frac{v}{v-1} $$

より

$$ x(v-1)=v $$

したがって

$$ v(x-1)=x $$

であるから、

$$ v=\frac{x}{x-1} $$

である。

また、

$$ v-1=\frac{x}{x-1}-1=\frac{1}{x-1} $$

なので、

$$ y=-\frac{u}{v-1}=-u(x-1)=u(1-x) $$

となる。よって

$$ u=\frac{y}{1-x} $$

である。

これらを円の方程式 $u^2+(v-3)^2=1$ に代入する。

$$ \left(\frac{y}{1-x}\right)^2+\left(\frac{x}{x-1}-3\right)^2=1 $$

ここで

$$ \frac{x}{x-1}-3=\frac{x-3x+3}{x-1}=\frac{3-2x}{x-1}=\frac{2x-3}{1-x} $$

であるから、

$$ \frac{y^2}{(1-x)^2}+\frac{(2x-3)^2}{(1-x)^2}=1 $$

となる。したがって

$$ y^2+(2x-3)^2=(1-x)^2 $$

である。

これを整理すると、

$$ y^2+4x^2-12x+9=x^2-2x+1 $$

より

$$ 3x^2-10x+y^2+8=0 $$

である。平方完成すると、

$$ 3\left(x-\frac{5}{3}\right)^2+y^2=\frac{1}{3} $$

したがって

$$ 9\left(x-\frac{5}{3}\right)^2+3y^2=1 $$

である。

標準形で書けば、

$$ \frac{\left(x-\frac{5}{3}\right)^2}{\frac{1}{9}}+\frac{y^2}{\frac{1}{3}}=1 $$

となる。

よって、軌跡は中心

$$ \left(\frac{5}{3},0\right) $$

をもつ楕円である。$x$ 方向の半径は $\frac{1}{3}$、$y$ 方向の半径は $\frac{1}{\sqrt{3}}$ である。

したがって、概形は $xy$ 平面上で、中心 $\left(\frac{5}{3},0\right)$、頂点

$$ \left(\frac{4}{3},0\right),\quad (2,0),\quad \left(\frac{5}{3},\frac{1}{\sqrt{3}}\right),\quad \left(\frac{5}{3},-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) $$

をもつ、$y$ 軸方向に長い楕円である。

解説

この問題では、空間内の点 $Q$ の動きをそのまま追うのではなく、直線 $PQ$ と $xy$ 平面の交点 $R$ を媒介変数で表すのが基本である。

$Q$ の座標を $Q=(0,u,v)$ とおけば、与えられた円の条件は $u,v$ だけの式になる。直線 $PQ$ と $xy$ 平面の交点を求めることで、$u,v$ と $R=(x,y,0)$ の座標の対応が得られる。

最後に $u,v$ を消去すると、$R$ の軌跡が楕円であることが分かる。特に、楕円の概形を描くには、標準形まで変形し、中心と各方向の半径を読み取ることが重要である。

答え

求める図形の方程式は

$$ 9\left(x-\frac{5}{3}\right)^2+3y^2=1 $$

である。

また、概形は中心

$$ \left(\frac{5}{3},0\right) $$

をもち、頂点

$$ \left(\frac{4}{3},0\right),\quad (2,0),\quad \left(\frac{5}{3},\frac{1}{\sqrt{3}}\right),\quad \left(\frac{5}{3},-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) $$

をもつ楕円である。