数学C 空間ベクトル 問題 28 解説

方針・初手

$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ をベクトルとして扱う。内積がそれぞれ

$$ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}=\alpha,\quad \overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=\beta,\quad \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\gamma $$

と表せるので、点 $C$ から平面 $OAB$ への距離は、$\overrightarrow{OC}$ から平面 $\operatorname{span}(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})$ への垂直成分の長さとして求めればよい。

解法1

まず、(1) の条件 $OA=OB=OC=1$ のもとで考える。

$$ \mathbf{a}=\overrightarrow{OA},\quad \mathbf{b}=\overrightarrow{OB},\quad \mathbf{c}=\overrightarrow{OC} $$

とおく。このとき

$$ |\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=|\mathbf{c}|=1,\quad \mathbf{a}\cdot\mathbf{c}=\alpha,\quad \mathbf{b}\cdot\mathbf{c}=\beta,\quad \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\gamma $$

である。

点 $H$ は $\mathbf{c}$ を平面 $OAB$ に正射影した点であるから、

$$ \overrightarrow{OH}=x\mathbf{a}+y\mathbf{b} $$

と表せる。さらに $CH\perp OAB$ より、$\mathbf{c}-\overrightarrow{OH}$ は $\mathbf{a},\mathbf{b}$ の両方に垂直である。したがって

$$ (\mathbf{c}-x\mathbf{a}-y\mathbf{b})\cdot \mathbf{a}=0 $$

かつ

$$ (\mathbf{c}-x\mathbf{a}-y\mathbf{b})\cdot \mathbf{b}=0 $$

である。内積を代入すると

$$ \begin{cases} x+\gamma y=\alpha,\\ \gamma x+y=\beta \end{cases} $$

を得る。$O,A,B$ は一直線上にないので $|\gamma|<1$ であり、これを解いて

$$ x=\frac{\alpha-\beta\gamma}{1-\gamma^2},\quad y=\frac{\beta-\alpha\gamma}{1-\gamma^2} $$

である。

ここで

$$ CH^2=|\mathbf{c}-x\mathbf{a}-y\mathbf{b}|^2 $$

を計算する。$\mathbf{c}-\overrightarrow{OH}$ は $\overrightarrow{OH}$ と垂直であるから、

$$ |\mathbf{c}|^2=|\overrightarrow{OH}|^2+CH^2 $$

である。よって

$$ CH^2=1-|\overrightarrow{OH}|^2 $$

である。

また、

$$ |\overrightarrow{OH}|^2 =(x\mathbf{a}+y\mathbf{b})\cdot(x\mathbf{a}+y\mathbf{b}) =x^2+2\gamma xy+y^2 $$

である。上で求めた $x,y$ を代入して整理すると

$$ |\overrightarrow{OH}|^2 =\frac{\alpha^2+\beta^2-2\alpha\beta\gamma}{1-\gamma^2} $$

となる。したがって

$$ CH^2 =1-\frac{\alpha^2+\beta^2-2\alpha\beta\gamma}{1-\gamma^2} =\frac{1+2\alpha\beta\gamma-\alpha^2-\beta^2-\gamma^2}{1-\gamma^2} $$

である。よって

$$ CH= \sqrt{\frac{1+2\alpha\beta\gamma-\alpha^2-\beta^2-\gamma^2}{1-\gamma^2}} $$

である。

次に (2) を求める。底面を三角形 $OAB$ と見ると、

$$ \triangle OAB=\frac{1}{2}OA\cdot OB\sin\angle AOB =\frac{1}{2}\sqrt{1-\gamma^2} $$

である。高さは (1) の $CH$ であるから、四面体の体積 $V$ は

$$ V =\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{1-\gamma^2}\cdot \sqrt{\frac{1+2\alpha\beta\gamma-\alpha^2-\beta^2-\gamma^2}{1-\gamma^2}} $$

である。よって

$$ V=\frac{1}{6}\sqrt{1+2\alpha\beta\gamma-\alpha^2-\beta^2-\gamma^2} $$

である。

最後に (3) を求める。今度は

$$ OA=a,\quad OB=b,\quad OC=c $$

とする。単位ベクトル

$$ \mathbf{e}_1=\frac{\overrightarrow{OA}}{a},\quad \mathbf{e}_2=\frac{\overrightarrow{OB}}{b},\quad \mathbf{e}_3=\frac{\overrightarrow{OC}}{c} $$

を考えると、これらのなす角の余弦は同じく

$$ \mathbf{e}_1\cdot\mathbf{e}_3=\alpha,\quad \mathbf{e}_2\cdot\mathbf{e}_3=\beta,\quad \mathbf{e}_1\cdot\mathbf{e}_2=\gamma $$

である。

したがって、単位長さの場合の体積に、各方向の長さの倍率 $a,b,c$ を掛ければよい。よって

$$ V=\frac{abc}{6}\sqrt{1+2\alpha\beta\gamma-\alpha^2-\beta^2-\gamma^2} $$

である。

解法2

体積を直接、グラム行列の行列式で求めることもできる。

$OA=OB=OC=1$ の場合、$\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ のグラム行列は

$$ G= \begin{pmatrix} 1&\gamma&\alpha\\ \gamma&1&\beta\\ \alpha&\beta&1 \end{pmatrix} $$

である。この行列式は、$\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ が張る平行六面体の体積の平方に等しい。

計算すると

$$ \det G = \begin{vmatrix} 1&\gamma&\alpha\\ \gamma&1&\beta\\ \alpha&\beta&1 \end{vmatrix} = 1+2\alpha\beta\gamma-\alpha^2-\beta^2-\gamma^2 $$

である。

四面体 $OABC$ の体積は、この平行六面体の体積の $\frac{1}{6}$ であるから、

$$ V=\frac{1}{6}\sqrt{1+2\alpha\beta\gamma-\alpha^2-\beta^2-\gamma^2} $$

となる。これが (2) の答えである。

また、$OA=a,OB=b,OC=c$ の場合は、対応するグラム行列が

$$ G= \begin{pmatrix} a^2&ab\gamma&ac\alpha\\ ab\gamma&b^2&bc\beta\\ ac\alpha&bc\beta&c^2 \end{pmatrix} $$

となる。この行列式は

$$ \det G =a^2b^2c^2(1+2\alpha\beta\gamma-\alpha^2-\beta^2-\gamma^2) $$

である。したがって四面体の体積は

$$ V =\frac{1}{6}\sqrt{\det G} =\frac{abc}{6}\sqrt{1+2\alpha\beta\gamma-\alpha^2-\beta^2-\gamma^2} $$

である。

解説

この問題の中心は、3本の辺 $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ の相互の内積だけで、高さや体積が決まるという点である。

(1) では、点 $C$ から平面 $OAB$ への距離を、$\overrightarrow{OC}$ の平面 $OAB$ に垂直な成分の長さとして求める。正射影を $x\mathbf{a}+y\mathbf{b}$ とおき、垂直条件から連立方程式を立てるのが自然である。

(2), (3) では、体積を「底面積 $\times$ 高さ」で求めてもよいが、グラム行列の行列式を用いると計算の構造が明確になる。特に

$$ 1+2\alpha\beta\gamma-\alpha^2-\beta^2-\gamma^2 $$

は、3つの方向ベクトルが作る平行六面体の体積の平方に対応する量である。

答え

(1)

$$ CH= \sqrt{\frac{1+2\alpha\beta\gamma-\alpha^2-\beta^2-\gamma^2}{1-\gamma^2}} $$

(2)

$$ V= \frac{1}{6}\sqrt{1+2\alpha\beta\gamma-\alpha^2-\beta^2-\gamma^2} $$

(3)

$$ V= \frac{abc}{6}\sqrt{1+2\alpha\beta\gamma-\alpha^2-\beta^2-\gamma^2} $$