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数学C 空間ベクトル問題 32 解説

方針・初手

点 $Q$ の $x$ 座標を $t$ とおく。曲線 $y=x^2-1$ 上の点なので

$$ Q=(t,t^2-1,0) $$

であり、$yz$ 平面に関して対称な点 $R$ は $x$ 座標の符号だけが反転するから

$$ R=(-t,t^2-1,0) $$

である。

角 $\angle QPR$ は、ベクトル $\overrightarrow{PQ}$ と $\overrightarrow{PR}$ の内積から求める。

解法1

$P=(0,0,\sqrt{6})$ より、

$$ \overrightarrow{PQ}=(t,t^2-1,-\sqrt{6}),\qquad \overrightarrow{PR}=(-t,t^2-1,-\sqrt{6}) $$

である。

したがって、内積は

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{PR} &=t(-t)+(t^2-1)^2+(-\sqrt{6})^2\\ &=-t^2+(t^2-1)^2+6 \end{aligned} $$

である。また、対称性より $|\overrightarrow{PQ}|=|\overrightarrow{PR}|$ であり、

$$ |\overrightarrow{PQ}|^2=t^2+(t^2-1)^2+6 $$

である。

よって、

$$ \cos\angle QPR = \frac{-t^2+(t^2-1)^2+6}{t^2+(t^2-1)^2+6} $$

となる。

ここで $s=t^2$ とおくと $s\geqq 0$ であり、

$$ \cos\angle QPR = \frac{s^2-3s+7}{s^2-s+7} $$

である。

(1)

$t=\sqrt{2}$ のとき、$s=2$ であるから、

$$ \begin{aligned} \cos\angle QPR &= \frac{2^2-3\cdot 2+7}{2^2-2+7}\\ &= \frac{5}{9} \end{aligned} $$

である。したがって、

$$ \angle QPR=\cos^{-1}\frac{5}{9} $$

である。

(2)

$\angle QPR\geqq \dfrac{\pi}{3}$ となる条件を考える。

$0\leqq \angle QPR\leqq \pi$ の範囲では、角が大きいほど余弦の値は小さくなる。したがって、

$$ \angle QPR\geqq \frac{\pi}{3} $$

は

$$ \cos\angle QPR\leqq \frac12 $$

と同値である。

よって、

$$ \frac{s^2-3s+7}{s^2-s+7}\leqq \frac12 $$

を解けばよい。

分母について、

$$ s^2-s+7=\left(s-\frac12\right)^2+\frac{27}{4}>0 $$

であるから、両辺に分母をかけても不等号の向きは変わらない。

$$ \begin{aligned} \frac{s^2-3s+7}{s^2-s+7}\leqq \frac12 &\Longleftrightarrow 2(s^2-3s+7)\leqq s^2-s+7\\ &\Longleftrightarrow s^2-5s+7\leqq 0 \end{aligned} $$

しかし、

$$ s^2-5s+7 = \left(s-\frac52\right)^2+\frac34>0 $$

である。

したがって、この不等式を満たす実数 $s$ は存在しない。よって、条件を満たす点 $Q$ は存在しない。

解説

この問題では、$Q$ と $R$ が $yz$ 平面に関して対称であるため、$Q$ の $x$ 座標を $t$ とおくと $R$ の $x$ 座標は $-t$ になる。したがって、角 $\angle QPR$ は $t^2$ だけで決まる。

重要なのは、角の条件を余弦の条件に直すときである。$\angle QPR\geqq \pi/3$ は、$\cos\angle QPR\geqq 1/2$ ではなく、$\cos\angle QPR\leqq 1/2$ である。余弦は $0\leqq \theta\leqq \pi$ で単調減少するため、この向きになる。

計算の結果、$\angle QPR\geqq \pi/3$ を満たす $Q$ は存在しない。したがって、$xy$ 平面上に図示すべき範囲は空集合である。