数学C 空間ベクトル問題 31 解説

方針・初手

平面 $\alpha$ は、2つのベクトル $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ を含む。したがって、まずこれらの外積から法線ベクトルを求め、平面の方程式を作る。

後半は、$\overrightarrow{AD}\perp \overrightarrow{AB}$ かつ $\overrightarrow{AD}\perp \overrightarrow{AC}$ より、$\overrightarrow{AD}$ が平面 $\alpha$ の法線方向であることを用いる。

解法1

まず、

$$ \overrightarrow{AB}=B-A=(-2,0,1),\qquad \overrightarrow{AC}=C-A=(1,2,3) $$

である。

平面 $\alpha$ の法線ベクトルは $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$ で与えられるから、

$$ \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ -2 & 0 & 1\\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} =(-2,7,-4) $$

である。

したがって、平面 $\alpha$ の方程式は、点 $A(1,0,1)$ を通り、法線ベクトル $(-2,7,-4)$ をもつので、

$$ -2(x-1)+7(y-0)-4(z-1)=0 $$

すなわち、

$$ -2x+7y-4z+6=0 $$

である。

点 $P(4,2,s)$ が $\alpha$ 上にあるから、

$$ -2\cdot 4+7\cdot 2-4s+6=0 $$

より、

$$ -8+14-4s+6=0 $$

したがって、

$$ 12-4s=0 $$

となるので、

$$ s=3 $$

である。

次に、$D$ は $yz$ 平面上の点であるから、

$$ D=(0,y,z) $$

とおける。

このとき、

$$ \overrightarrow{AD}=D-A=(-1,y,z-1) $$

である。

条件 $\overrightarrow{AD}\perp \overrightarrow{AB}$ より、

$$ \overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB}=0 $$

であるから、

$$ (-1,y,z-1)\cdot(-2,0,1)=0 $$

すなわち、

$$ 2+z-1=0 $$

より、

$$ z=-1 $$

である。

また、条件 $\overrightarrow{AD}\perp \overrightarrow{AC}$ より、

$$ \overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AC}=0 $$

であるから、

$$ (-1,y,z-1)\cdot(1,2,3)=0 $$

すなわち、

$$ -1+2y+3(z-1)=0 $$

である。整理すると、

$$ 2y+3z-4=0 $$

となる。ここに $z=-1$ を代入して、

$$ 2y-3-4=0 $$

より、

$$ y=\frac{7}{2} $$

である。

したがって、

$$ D=\left(0,\frac{7}{2},-1\right) $$

であり、

$$ \overrightarrow{AD} = \left(-1,\frac{7}{2},-2\right) $$

である。

よって、

$$ |AD| = \sqrt{(-1)^2+\left(\frac{7}{2}\right)^2+(-2)^2} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} |AD| &= \sqrt{1+\frac{49}{4}+4}\\ &= \sqrt{\frac{69}{4}}\\ &= \frac{\sqrt{69}}{2} \end{aligned} $$

となる。

解法2

$\overrightarrow{AD}\perp \overrightarrow{AB}$ かつ $\overrightarrow{AD}\perp \overrightarrow{AC}$ であるから、$\overrightarrow{AD}$ は平面 $\alpha$ の法線方向である。

解法1より、平面 $\alpha$ の法線ベクトルは

$$ (-2,7,-4) $$

である。

したがって、点 $D$ は直線

$$ D=A+t(-2,7,-4) $$

上にある。

つまり、

$$ D=(1,0,1)+t(-2,7,-4) = (1-2t,7t,1-4t) $$

である。

$D$ は $yz$ 平面上の点なので、$x$ 座標が $0$ である。よって、

$$ 1-2t=0 $$

より、

$$ t=\frac{1}{2} $$

である。

したがって、

$$ D= \left(0,\frac{7}{2},-1\right) $$

である。

また、

$$ \overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}(-2,7,-4) $$

だから、

$$ |AD| = \frac{1}{2}\sqrt{(-2)^2+7^2+(-4)^2} $$

である。

よって、

$$ \begin{aligned} |AD| &= \frac{1}{2}\sqrt{4+49+16}\\ &= \frac{\sqrt{69}}{2} \end{aligned} $$

となる。

解説

平面の問題では、平面上の2つの方向ベクトルを作り、それらに垂直な法線ベクトルを求めるのが基本である。

前半は、法線ベクトルから平面の方程式を作り、点 $P(4,2,s)$ を代入すればよい。

後半では、$\overrightarrow{AD}$ が $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の両方に垂直であることから、$\overrightarrow{AD}$ が平面 $\alpha$ の法線方向であると見ると処理が速い。$D$ が $yz$ 平面上にあることは、$x$ 座標が $0$ であるという条件に置き換える。