数学C 空間ベクトル 問題 34 解説

方針・初手

2つのベクトルのなす角は、内積の公式

$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta $$

を用いて求める。まず内積とそれぞれの大きさを計算する。

解法1

$\vec{a}=(3,2,1)$、$\vec{b}=(2,-1,3)$ より、内積は

$$ \vec{a}\cdot\vec{b} =3\cdot2+2\cdot(-1)+1\cdot3 =6-2+3 =7 $$

である。

次に、それぞれのベクトルの大きさを求める。

$$ |\vec{a}|=\sqrt{3^2+2^2+1^2}=\sqrt{14} $$

$$ |\vec{b}|=\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2}=\sqrt{14} $$

したがって、内積の公式より

$$ 7=\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}\cos\theta $$

すなわち

$$ 7=14\cos\theta $$

であるから、

$$ \cos\theta=\frac{1}{2} $$

となる。

$0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$ の範囲で $\cos\theta=\dfrac{1}{2}$ を満たす角は

$$ \theta=60^\circ $$

である。

解説

空間ベクトルのなす角は、平面ベクトルと同じく内積から求める。特に、今回は $|\vec{a}|=|\vec{b}|=\sqrt{14}$ となるため、分母が $14$ に整理される。

符号に注意すべき点は、$\vec{b}$ の第2成分が $-1$ であることである。内積の計算で $2\cdot(-1)$ を正にしてしまうと誤答になる。

答え

$$ \boxed{60^\circ} $$