数学C 空間ベクトル 問題 35 解説

方針・初手

4点が同一平面上にあるためには、まず $A,B,C$ を通る平面の方程式を求め、その平面上に $D$ がある条件を使えばよい。

解法1

点 $A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)$ を通る平面を

$$ ax+by+cz=d $$

とおく。

点 $A(1,0,0)$ を通るので、

$$ a=d $$

点 $B(0,1,0)$ を通るので、

$$ b=d $$

点 $C(0,0,1)$ を通るので、

$$ c=d $$

したがって、$a=b=c=d$ である。$d\neq 0$ として両辺を $d$ で割ると、平面の方程式は

$$ x+y+z=1 $$

である。

点 $D(3,-5,z)$ もこの平面上にあるから、

$$ 3+(-5)+z=1 $$

よって、

$$ -2+z=1 $$

より、

$$ z=3 $$

である。

解法2

$A,B,C,D$ が同一平面上にあることは、3つのベクトル $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ が一次従属であることと同値である。

それぞれ

$$ \overrightarrow{AB}=(-1,1,0),\quad \overrightarrow{AC}=(-1,0,1),\quad \overrightarrow{AD}=(2,-5,z) $$

である。

これらが一次従属であるためには、行列式が $0$ になればよい。

$$ \begin{vmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & -5 & z \end{vmatrix} =0 $$

これを計算すると、

$$ (-1)(0\cdot z-1\cdot(-5))-1((-1)\cdot z-1\cdot 2)=0 $$

したがって、

$$ -5-(-z-2)=0 $$

すなわち、

$$ z-3=0 $$

より、

$$ z=3 $$

である。

解説

この問題では、$A,B,C$ が座標軸上の点であり、いずれも座標の和が $1$ であることに着目すると、平面の方程式 $x+y+z=1$ がすぐに得られる。

ベクトルや行列式でも解けるが、この問題では平面の方程式を使う解法が最も短い。特に、点 $A,B,C$ の形から平面を素早く見抜くことが重要である。

答え

$$ \boxed{3} $$