数学C 空間ベクトル 問題 36 解説

方針・初手

直線が平面に垂直であるという条件は、平面の法線ベクトルを用いると処理しやすい。

まず、平面 $OEG$ の法線ベクトルを求める。次に、点 $D$ を通りその法線ベクトルを方向ベクトルにもつ直線を媒介変数で表し、その直線が辺 $BC$ 上の点、すなわち $y=2,\ z=0,\ 0\leq x\leq 3$ を満たすようにする。

解法1

平面 $OEG$ を考える。

$$ \overrightarrow{OE}=(3,0,a),\qquad \overrightarrow{OG}=(0,2,a) $$

であるから、平面 $OEG$ の法線ベクトルは外積より

$$ \overrightarrow{OE}\times \overrightarrow{OG} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ 3 & 0 & a\\ 0 & 2 & a \end{vmatrix} =(-2a,-3a,6) $$

である。よって、これと同じ向きの法線ベクトルとして

$$ \mathbf{n}=(2a,3a,-6) $$

を用いることができる。

点 $D(0,0,a)$ を通り、平面 $OEG$ に垂直な直線は、方向ベクトルが $\mathbf{n}$ であるから、媒介変数 $t$ を用いて

$$ (x,y,z)=(0,0,a)+t(2a,3a,-6) $$

すなわち

$$ x=2at,\qquad y=3at,\qquad z=a-6t $$

と表される。

この直線が辺 $BC$ と交わる点を $P$ とする。辺 $BC$ は

$$ B(3,2,0),\qquad C(0,2,0) $$

を結ぶ線分であるから、辺 $BC$ 上の点は

$$ y=2,\qquad z=0,\qquad 0\leq x\leq 3 $$

を満たす。

したがって、交点では

$$ 3at=2 $$

かつ

$$ a-6t=0 $$

である。これらより

$$ t=\frac{2}{3a} $$

および

$$ t=\frac{a}{6} $$

であるから、

$$ \frac{2}{3a}=\frac{a}{6} $$

となる。これを解くと

$$ 12=3a^2 $$

より

$$ a^2=4 $$

である。$a$ は正の数なので、

$$ a=2 $$

である。

このとき

$$ t=\frac{a}{6}=\frac{1}{3} $$

であるから、点 $P$ の座標は

$$ x=2at=2\cdot 2\cdot \frac{1}{3}=\frac{4}{3} $$

$$ y=2,\qquad z=0 $$

となる。

よって

$$ P\left(\frac{4}{3},2,0\right) $$

である。実際に $\frac{4}{3}$ は $0\leq x\leq 3$ を満たすので、点 $P$ は辺 $BC$ 上にある。

解説

この問題の中心は、「平面に垂直な直線の方向ベクトルは、その平面の法線ベクトルである」という点である。

平面 $OEG$ は原点 $O$ を含むので、平面の方程式を直接求めてもよいが、今回は点 $D$ を通る垂線を作る必要があるため、法線ベクトルをそのまま直線の方向ベクトルとして使うのが自然である。

また、交点が辺 $BC$ 上にあるという条件は、単に直線 $BC$ 上にあるだけでなく、$0\leq x\leq 3$ を確認する必要がある。今回は得られた $x=\frac{4}{3}$ がこの範囲に入っているため、条件を満たしている。

答え

$$ a=2,\qquad P\left(\frac{4}{3},2,0\right) $$