数学C 空間ベクトル 問題 41 解説

方針・初手

位置ベクトルを

$$ \overrightarrow{OA}=\mathbf a,\quad \overrightarrow{OB}=\mathbf b,\quad \overrightarrow{OC}=\mathbf c $$

とおく。

まず $P_0,Q_0,R_0$ の位置ベクトルを求め、次に $P,Q,R$ の位置ベクトルを $s,t,u$ で表す。三角形 $PQR$ の重心 $M$ は

$$ \overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{OR}\right) $$

で求められる。

解法1

$P_0$ は辺 $OA$ の中点であるから、

$$ \overrightarrow{OP_0}=\frac{1}{2}\mathbf a $$

である。

また、$Q_0$ は辺 $OB$ を $1:4$ に内分する点なので、

$$ \overrightarrow{OQ_0}=\frac{1}{5}\mathbf b $$

である。同様に、$R_0$ は辺 $OC$ を $1:3$ に内分する点なので、

$$ \overrightarrow{OR_0}=\frac{1}{4}\mathbf c $$

である。

点 $P$ は線分 $CP_0$ を $s:(1-s)$ の比に内分するから、

$$ \overrightarrow{OP} =(1-s)\overrightarrow{OC}+s\overrightarrow{OP_0} =(1-s)\mathbf c+\frac{s}{2}\mathbf a $$

である。

点 $Q$ は線分 $AQ_0$ を $t:(1-t)$ の比に内分するから、

$$ \overrightarrow{OQ} =(1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OQ_0} =(1-t)\mathbf a+\frac{t}{5}\mathbf b $$

である。

点 $R$ は線分 $BR_0$ を $u:(1-u)$ の比に内分するから、

$$ \overrightarrow{OR} =(1-u)\overrightarrow{OB}+u\overrightarrow{OR_0} =(1-u)\mathbf b+\frac{u}{4}\mathbf c $$

である。

したがって、三角形 $PQR$ の重心 $M$ について、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OM} &=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{OR}\right)\\ &=\frac{1}{3}\left\{ \left(\frac{s}{2}+1-t\right)\mathbf a +\left(\frac{t}{5}+1-u\right)\mathbf b +\left(1-s+\frac{u}{4}\right)\mathbf c \right\}. \end{aligned} $$

よって、

$$ \overrightarrow{OM} = \frac{1-t+\frac{s}{2}}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{1-u+\frac{t}{5}}{3}\overrightarrow{OB} + \frac{1-s+\frac{u}{4}}{3}\overrightarrow{OC} $$

である。

次に、三角形 $ABC$ の重心を $N$ とすると、

$$ \overrightarrow{ON} = \frac{1}{3}\left(\mathbf a+\mathbf b+\mathbf c\right) $$

である。

$M$ が線分 $ON$ の中点であるから、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OM} &= \frac{1}{2}\overrightarrow{ON}\\ &= \frac{1}{6}\left(\mathbf a+\mathbf b+\mathbf c\right) \end{aligned} $$

である。

四面体 $OABC$ では $\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c$ は一次独立であるから、係数を比較して、

$$ \begin{cases} \dfrac{1-t+\frac{s}{2}}{3}=\dfrac{1}{6}\\[6pt] \dfrac{1-u+\frac{t}{5}}{3}=\dfrac{1}{6}\\[6pt] \dfrac{1-s+\frac{u}{4}}{3}=\dfrac{1}{6} \end{cases} $$

を得る。

これを整理すると、

$$ \begin{cases} 1-t+\dfrac{s}{2}=\dfrac{1}{2}\\[6pt] 1-u+\dfrac{t}{5}=\dfrac{1}{2}\\[6pt] 1-s+\dfrac{u}{4}=\dfrac{1}{2} \end{cases} $$

すなわち、

$$ \begin{cases} t=\dfrac{1+s}{2}\\[6pt] u=\dfrac{1}{2}+\dfrac{t}{5}\\[6pt] s=\dfrac{1}{2}+\dfrac{u}{4} \end{cases} $$

である。

第1式を第2式に代入すると、

$$ u=\frac{1}{2}+\frac{1+s}{10} =\frac{6+s}{10} $$

となる。これを第3式に代入して、

$$ s=\frac{1}{2}+\frac{6+s}{40} =\frac{26+s}{40} $$

より、

$$ 40s=26+s $$

したがって、

$$ 39s=26 $$

であるから、

$$ s=\frac{2}{3} $$

となる。

これを

$$ t=\frac{1+s}{2} $$

に代入して、

$$ t=\frac{1+\frac{2}{3}}{2} =\frac{5}{6} $$

である。また、

$$ u=\frac{6+s}{10} $$

に代入して、

$$ u=\frac{6+\frac{2}{3}}{10} =\frac{2}{3} $$

である。

解説

この問題では、内分点の位置ベクトルを正確に書くことが最重要である。

線分 $XY$ を $r:(1-r)$ に内分する点は、$X$ から $Y$ に向かって $r$ だけ進んだ点なので、位置ベクトルは

$$ (1-r)\overrightarrow{OX}+r\overrightarrow{OY} $$

となる。この形を使えば、$P,Q,R$ の位置ベクトルは機械的に求まる。

また、$M$ が線分 $ON$ の中点であるという条件は、

$$ \overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{ON} $$

と表せる。最後は $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ の係数比較に帰着する。

答え

(1)

$$ \overrightarrow{OM} = \frac{1-t+\frac{s}{2}}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{1-u+\frac{t}{5}}{3}\overrightarrow{OB} + \frac{1-s+\frac{u}{4}}{3}\overrightarrow{OC} $$

(2)

$$ s=\frac{2}{3},\quad t=\frac{5}{6},\quad u=\frac{2}{3} $$