数学C 空間ベクトル 問題 40 解説

方針・初手

平面 $\alpha$ は $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$ で張られる。まずこの2つのベクトルを求め、面積は外積から求める。

また、$H$ は原点 $O$ から平面 $\alpha$ に下ろした垂線の足であるから、$\overrightarrow{OH}$ は平面 $\alpha$ 上の2方向 $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$ の両方に垂直である。この条件を使って $s,t$ を決める。

解法1

点の座標より、

$$ \overrightarrow{AB}=(-1,1,3),\qquad \overrightarrow{AC}=(1,2,1) $$

である。

(1)

$\triangle ABC$ の面積を求める。

外積を計算すると、

$$ \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ -1&1&3\\ 1&2&1 \end{vmatrix} =(-5,4,-3) $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}| &= \sqrt{(-5)^2+4^2+(-3)^2}\\ &= \sqrt{50}\\ &= 5\sqrt{2} \end{aligned} $$

である。

よって、三角形の面積は外積の大きさの半分だから、

$$ [ABC]=\frac{1}{2}\cdot 5\sqrt{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2} $$

である。

(2)

$\overrightarrow{AH}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}$ を満たす $s,t$ を求める。

点 $A$ の位置ベクトルを $\overrightarrow{OA}=(0,-1,2)$ とする。すると、

$$ \overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AH} = \overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC} $$

である。

$OH$ は平面 $\alpha$ に垂直であるから、

$$ \overrightarrow{OH}\cdot \overrightarrow{AB}=0,\qquad \overrightarrow{OH}\cdot \overrightarrow{AC}=0 $$

を満たす。

ここで、

$$ \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{AB}=5,\qquad \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}=11,\qquad \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=4 $$

また、

$$ \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{AC}=0,\qquad \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4,\qquad \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AC}=6 $$

である。したがって、

$$ \begin{cases} 5+11s+4t=0\\ 4s+6t=0 \end{cases} $$

を解けばよい。

第2式より、

$$ 2s+3t=0 $$

であるから、

$$ s=-\frac{3}{2}t $$

である。これを第1式に代入すると、

$$ 5+11\left(-\frac{3}{2}t\right)+4t=0 $$

より、

$$ 5-\frac{25}{2}t=0 $$

したがって、

$$ t=\frac{2}{5} $$

であり、

$$ s=-\frac{3}{5} $$

である。

よって、

$$ s=-\frac{3}{5},\qquad t=\frac{2}{5} $$

である。

(3)

点 $H$ の座標を求める。

(2)

より、

$$ \overrightarrow{AH} = -\frac{3}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow{AC} $$

である。したがって、

$$ \overrightarrow{AH} = -\frac{3}{5}(-1,1,3) + \frac{2}{5}(1,2,1) $$

となる。これを計算すると、

$$ \overrightarrow{AH} = \left(\frac{3}{5},-\frac{3}{5},-\frac{9}{5}\right) + \left(\frac{2}{5},\frac{4}{5},\frac{2}{5}\right) = \left(1,\frac{1}{5},-\frac{7}{5}\right) $$

である。

よって、

$$ H = A+\overrightarrow{AH} (0,-1,2)+\left(1,\frac{1}{5},-\frac{7}{5}\right) $$

より、

$$ H=\left(1,-\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right) $$

である。

(4)

四面体 $OABC$ の体積を求める。

底面を $\triangle ABC$ とすると、その面積は (1) より、

$$ \frac{5\sqrt{2}}{2} $$

である。

高さは、原点 $O$ から平面 $\alpha$ までの距離、すなわち $OH$ である。(3) より、

$$ \overrightarrow{OH} = \left(1,-\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right) $$

だから、

$$ OH = \sqrt{ 1^2+\left(-\frac{4}{5}\right)^2+\left(\frac{3}{5}\right)^2 } = \sqrt{1+\frac{16}{25}+\frac{9}{25}} \sqrt{2} $$

である。

したがって、四面体の体積は、

$$ V = \frac{1}{3}\times \frac{5\sqrt{2}}{2}\times \sqrt{2} \frac{5}{3} $$

である。

解説

この問題では、平面 $\alpha$ を $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ の2本のベクトルで表すのが自然である。

面積は外積、垂線の足は「垂直条件」を使うのが基本である。特に (2) では、先に平面の方程式を出すのではなく、

$$ \overrightarrow{OH}\cdot \overrightarrow{AB}=0,\qquad \overrightarrow{OH}\cdot \overrightarrow{AC}=0 $$

を使えば、$s,t$ を直接求められる。

また、四面体 $OABC$ の体積は、底面を $\triangle ABC$、高さを $OH$ と見ればよい。座標空間の体積問題では、「底面積 $\times$ 高さ $\div 3$」に持ち込めるかを確認することが重要である。

答え

(1)

$$ \frac{5\sqrt{2}}{2} $$

(2)

$$ s=-\frac{3}{5},\qquad t=\frac{2}{5} $$

(3)

$$ H=\left(1,-\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right) $$

(4)

$$ \frac{5}{3} $$