数学C 空間ベクトル問題 43 解説

方針・初手

$\overrightarrow{PQ}=s\vec a+t\vec b$ である。$s,t$ がどのような値でも $\overrightarrow{PQ}$ に垂直なベクトルを求めるには、$\vec a,\vec b$ の両方に垂直な単位ベクトルを求めればよい。

解法1

まず、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{PQ} &= \overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP} \\ s\vec a+t\vec b \end{aligned} $$

である。$s,t$ がどのような値でも $\overrightarrow{PQ}$ に垂直であるためには、求めるベクトル $\vec x$ が

$$ \vec x\cdot \vec a=0,\qquad \vec x\cdot \vec b=0 $$

を満たせばよい。

$\vec x=(x,y,z)$ とおくと、$\vec a=(-1,2,1),\ \vec b=(1,-1,0)$ より、

$$ \begin{aligned} \vec x\cdot \vec a&=-x+2y+z=0,\\ \vec x\cdot \vec b&=x-y=0 \end{aligned} $$

である。第2式から $x=y$ であり、これを第1式に代入すると

$$ -x+2x+z=0 $$

より、

$$ z=-x $$

となる。したがって、

$$ \vec x=(x,x,-x)=x(1,1,-1) $$

である。

長さが $1$ であるから、

$$ |\vec x|^2=x^2+x^2+(-x)^2=3x^2=1 $$

より、

$$ x=\pm \frac{1}{\sqrt3} $$

である。よって、求めるベクトルは

$$ \vec v=\pm \frac{1}{\sqrt3}(1,1,-1) $$

である。

次に、(1) で求めたベクトルの一つを $\vec v$ とする。このとき $\vec v$ は $\overrightarrow{PQ}$ に垂直なので、

$$ \overrightarrow{PQ}\cdot \vec v=0 $$

である。

ここで、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OQ} &= \overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PQ} \end{aligned} $$

より、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OQ}\cdot \vec v &= (\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PQ})\cdot \vec v \\ \overrightarrow{OP}\cdot \vec v+\overrightarrow{PQ}\cdot \vec v \\ \overrightarrow{OP}\cdot \vec v \end{aligned} $$

である。

$k=\overrightarrow{OP}\cdot \vec v$ であるから、

$$ \overrightarrow{OQ}\cdot \vec v=k $$

となる。

また、

$$ \vec c=\overrightarrow{OQ}-k\vec v $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \vec c\cdot \vec v &=(\overrightarrow{OQ}-k\vec v)\cdot \vec v\\ &=\overrightarrow{OQ}\cdot \vec v-k|\vec v|^2\\ &=k-k\cdot 1\\ &=0 \end{aligned} $$

である。したがって、

$$ \vec c\perp \vec v $$

が示された。

さらに、

$$ \overrightarrow{OQ}=k\vec v+\vec c $$

であり、$\vec c\perp \vec v$ かつ $|\vec v|=1$ であるから、

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{OQ}|^2 &=|k\vec v+\vec c|^2\\ &=|k\vec v|^2+|\vec c|^2\\ &=k^2|\vec v|^2+|\vec c|^2\\ &=k^2+|\vec c|^2 \end{aligned} $$

となる。$|\vec c|^2\geqq 0$ より、

$$ |\overrightarrow{OQ}|^2\geqq k^2 $$

である。