数学C 空間ベクトル 問題 44 解説

方針・初手

点 $A,B,C$ はそれぞれ $x$ 軸、$y$ 軸、$z$ 軸上にあるので、平面 $ABC$ は切片形で表すのが自然である。

また、垂直条件は内積、面積は外積で処理する。

解法1

(1)

各ベクトルは

$$ \overrightarrow{OH} = \left(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{ab}\right), \quad \overrightarrow{AB} = (-a,b,0), \quad \overrightarrow{AC} = (-a,0,ab) $$

である。

まず、

$$ \overrightarrow{OH}\cdot \overrightarrow{AB} = \frac{1}{a}(-a)+\frac{1}{b}b+\frac{1}{ab}\cdot 0 -1+1 0 $$

である。したがって、

$$ \overrightarrow{OH}\perp \overrightarrow{AB} $$

である。

同様に、

$$ \overrightarrow{OH}\cdot \overrightarrow{AC} = \frac{1}{a}(-a)+\frac{1}{b}\cdot 0+\frac{1}{ab}\cdot ab -1+1 0 $$

である。したがって、

$$ \overrightarrow{OH}\perp \overrightarrow{AC} $$

である。

(2)

平面 $ABC$ は、$x$ 軸、$y$ 軸、$z$ 軸との切片がそれぞれ $a,b,ab$ であるから、

$$ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{ab}=1 $$

と表される。

点

$$ H\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{ab}\right) $$

がこの平面上にあるので、

$$ \frac{1/a}{a}+\frac{1/b}{b}+\frac{1/(ab)}{ab}=1 $$

である。すなわち、

$$ \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2b^2}=1 $$

である。

一方、

$$ |\overrightarrow{OH}|^2 = \left(\frac{1}{a}\right)^2 + \left(\frac{1}{b}\right)^2 + \left(\frac{1}{ab}\right)^2 = \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2b^2} $$

であるから、

$$ |\overrightarrow{OH}|^2=1 $$

となる。$|\overrightarrow{OH}|>0$ より、

$$ |\overrightarrow{OH}|=1 $$

である。

また、

$$ \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2b^2}=1 $$

の両辺に $a^2b^2$ をかけると、

$$ b^2+a^2+1=a^2b^2 $$

である。これを $b^2$ について解くと、

$$ b^2(a^2-1)=a^2+1 $$

である。

$a>1$ より $a^2-1>0$ だから、

$$ b^2=\frac{a^2+1}{a^2-1} $$

である。

(3)

三角形 $ABC$ の面積を $S$ とする。

$$ \overrightarrow{AB}=(-a,b,0), \quad \overrightarrow{AC}=(-a,0,ab) $$

であるから、

$$ \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = (ab^2,a^2b,ab) $$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|\\ &= \frac{1}{2}\sqrt{a^2b^4+a^4b^2+a^2b^2}\\ &= \frac{1}{2}ab\sqrt{a^2+b^2+1} \end{aligned} $$

である。

(2)

で得た

$$ a^2+b^2+1=a^2b^2 $$

を用いると、

$$ S = \frac{1}{2}ab\sqrt{a^2b^2} $$

である。$a>1,b>1$ より $ab>0$ なので、

$$ S = \frac{1}{2}a^2b^2 $$

である。

さらに

$$ b^2=\frac{a^2+1}{a^2-1} $$

を代入して、

$$ S = \frac{a^2}{2}\cdot \frac{a^2+1}{a^2-1} \frac{a^2(a^2+1)}{2(a^2-1)} $$

である。

(4)

$t=a^2$ とおく。$a>1$ より $t>1$ である。

(3)

より、面積は

$$ S = \frac{t(t+1)}{2(t-1)} $$

である。これを変形すると、

$$ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2}\cdot \frac{t^2+t}{t-1}\\ &= \frac{1}{2}\left(t+2+\frac{2}{t-1}\right) \end{aligned} $$

である。

ここで $u=t-1$ とおくと、$u>0$ であり、

$$ S = \frac{1}{2}\left(u+3+\frac{2}{u}\right) $$

となる。

相加平均・相乗平均の関係より、

$$ u+\frac{2}{u}\geq 2\sqrt{2} $$

であり、等号成立条件は

$$ u=\frac{2}{u} $$

すなわち

$$ u=\sqrt{2} $$

である。

したがって、面積が最小となるのは

$$ t-1=\sqrt{2} $$

のときである。よって、

$$ a^2=t=1+\sqrt{2} $$

である。

解説

この問題では、点 $A,B,C$ が座標軸上にあることから、平面 $ABC$ を切片形で表すのが要点である。

点 $H$ が平面 $ABC$ 上にある条件は、そのまま

$$ \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2b^2}=1 $$

となり、これは $|\overrightarrow{OH}|=1$ の証明にも、$b^2$ を $a$ で表す計算にも使える。

面積計算では外積を用いると機械的に進むが、途中で

$$ a^2+b^2+1=a^2b^2 $$

を使うことで根号が消える。ここを見落とすと計算が重くなる。

最小化では $a^2$ を直接変数に置くと、式が

$$ \frac{t(t+1)}{2(t-1)} $$

となり、相加平均・相乗平均で処理できる形になる。

答え

(1)

$$ \overrightarrow{OH}\perp \overrightarrow{AB}, \quad \overrightarrow{OH}\perp \overrightarrow{AC} $$

である。

(2)

$$ |\overrightarrow{OH}|=1 $$

であり、

$$ b^2=\frac{a^2+1}{a^2-1} $$

である。

(3)

$$ \triangle ABC\text{ の面積} = \frac{a^2(a^2+1)}{2(a^2-1)} $$

である。

(4)

$$ a^2=1+\sqrt{2} $$

である。