数学C 空間ベクトル問題 46 解説

方針・初手

平面 $OAB$ を扱うので、まず $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ から平面の法線ベクトルを求める。点 $H$ は $C$ から平面 $OAB$ へ下ろした垂線の足であるから、$H$ は $C$ から法線方向に動かした点として表せばよい。

解法1

まず

$$ \overrightarrow{OA}=(2,1,0),\qquad \overrightarrow{OB}=(1,2,-1) $$

である。

内積は

$$ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} =2\cdot 1+1\cdot 2+0\cdot(-1)=4 $$

である。

また

$$ |\overrightarrow{OA}|^2=2^2+1^2=5,\qquad |\overrightarrow{OB}|^2=1^2+2^2+(-1)^2=6 $$

より、$\triangle OAB$ の面積は

$$ \frac12\sqrt{ |\overrightarrow{OA}|^2|\overrightarrow{OB}|^2 -(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB})^2 } = \frac12\sqrt{5\cdot 6-4^2} \frac{\sqrt{14}}{2} $$

である。

次に、平面 $OAB$ の法線ベクトルを求める。法線ベクトルを $\vec n=(p,q,r)$ とすると、$\vec n$ は $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ のどちらにも垂直であるから、

$$ 2p+q=0,\qquad p+2q-r=0 $$

を満たす。例えば $p=-1$ とすると $q=2,\ r=3$ となるので、

$$ \vec n=(-1,2,3) $$

を平面 $OAB$ の法線ベクトルとしてよい。

平面 $OAB$ は原点を通るので、その方程式は

$$ -x+2y+3z=0 $$

である。

$CH$ は平面 $OAB$ に垂直であるから、$H$ は $C$ から法線ベクトル方向に進んだ点として

$$ H=C+t\vec n $$

と表せる。すなわち

$$ H=(1,-1,-2)+t(-1,2,3) =(1-t,-1+2t,-2+3t) $$

である。$H$ は平面 $OAB$ 上の点なので、

$$ -(1-t)+2(-1+2t)+3(-2+3t)=0 $$

を満たす。これを整理すると

$$ -9+14t=0 $$

より

$$ t=\frac{9}{14} $$

である。したがって

$$ H= \left( 1-\frac{9}{14}, -1+\frac{18}{14}, -2+\frac{27}{14} \right) = \left( \frac{5}{14}, \frac{2}{7}, -\frac{1}{14} \right) $$

である。

次に、直線 $OH$ と直線 $AB$ の交点を $D$ とする。$H$ の座標から

$$ \overrightarrow{OH} = \left( \frac{5}{14}, \frac{2}{7}, -\frac{1}{14} \right) = \frac1{14}(5,4,-1) $$

であるから、直線 $OH$ 上の点は

$$ (x,y,z)=u(5,4,-1) $$

と表せる。

一方、直線 $AB$ 上の点は、$A$ から $B$ へ向かう比を $s$ として

$$ (x,y,z)=A+s(B-A) =(2,1,0)+s(-1,1,-1) =(2-s,1+s,-s) $$

と表せる。

交点 $D$ では

$$ (2-s,1+s,-s)=u(5,4,-1) $$

である。第3成分から

$$ -s=-u $$

より $s=u$ である。これを第1成分に代入すると

$$ 2-s=5s $$

だから

$$ s=\frac13 $$

である。

よって $D$ は線分 $AB$ を $A$ から $B$ に向かって $\frac13$ 進んだ点なので、

$$ AD:DB=\frac13:\frac23=1:2 $$

である。

最後に、$\triangle ADH$ の面積を求める。まず

$$ \overrightarrow{AD} = \frac13(B-A) \left(-\frac13,\frac13,-\frac13\right) $$

であり、

$$ \overrightarrow{AH} = H-A \left( \frac{5}{14}-2, \frac27-1, -\frac1{14}-0 \right) = \left( -\frac{23}{14}, -\frac57, -\frac1{14} \right) $$

である。

それぞれの大きさと内積を計算すると、

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{AD}|^2 &= \frac19+\frac19+\frac19\\ &= \frac13 \end{aligned} $$

であり、

$$ |\overrightarrow{AH}|^2 = \left(-\frac{23}{14}\right)^2 +\left(-\frac57\right)^2 \begin{aligned} +\left(-\frac1{14}\right)^2 &= \frac{529+100+1}{196}\\ &= \frac{45}{14} \end{aligned} $$

である。また、

$$ \overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AH} = \left(-\frac13\right)\left(-\frac{23}{14}\right) +\frac13\left(-\frac57\right) +\left(-\frac13\right)\left(-\frac1{14}\right) = \frac13 $$

である。

したがって、2つのベクトルが作る三角形の面積公式より、

$$ \begin{aligned} [\triangle ADH] &= \frac12 \sqrt{ |\overrightarrow{AD}|^2|\overrightarrow{AH}|^2 &= (\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AH})^2 } \\ &= \frac12 \sqrt{ \frac13\cdot\frac{45}{14} -\left(\frac13\right)^2 } \\ &= \frac12 \sqrt{ \frac{15}{14}-\frac19 } \\ &= \frac12 \sqrt{ \frac{121}{126} } \\ &= \frac{11\sqrt{14}}{84} \end{aligned} $$

である。