数学C 空間ベクトル 問題 45 解説

方針・初手

2つのベクトルのなす角 $\theta$ は、内積の公式

$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta $$

から求める。したがって、まず内積とそれぞれの大きさを計算する。

解法1

$\vec{a}=(-1,1,0)$、$\vec{b}=(-1,2,-2)$ より、内積は

$$ \vec{a}\cdot\vec{b} =(-1)(-1)+1\cdot 2+0\cdot(-2) =1+2+0 =3 $$

である。

次に、それぞれの大きさを求める。

$$ |\vec{a}| =\sqrt{(-1)^2+1^2+0^2} =\sqrt{2} $$

$$ |\vec{b}| =\sqrt{(-1)^2+2^2+(-2)^2} =\sqrt{1+4+4} =3 $$

よって、内積の公式より

$$ \begin{aligned} \cos\theta &= \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\\ &= \frac{3}{\sqrt{2}\cdot 3}\\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned} $$

である。

ベクトルのなす角は $0\leqq \theta\leqq \pi$ の範囲で考えるので、

$$ \cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}} $$

を満たす角は

$$ \theta=\frac{\pi}{4} $$

である。

解説

ベクトルのなす角を求める問題では、内積を利用するのが基本である。

特に、座標で与えられたベクトルでは、内積と大きさをそれぞれ計算すればよい。最後に $\cos\theta$ の値から角度を判断するが、なす角は $0\leqq \theta\leqq \pi$ の範囲で考える点に注意する。

答え

$$ \frac{\pi}{4} $$