数学C 空間ベクトル 問題 49 解説

方針・初手

正四面体なので、$\vec a,\vec b,\vec c$ の長さはすべて $1$ であり、互いの内積はすべて $\dfrac12$ になる。

まず $\triangle ABC$ 上の点を $\vec a,\vec b,\vec c$ の一次結合で表し、垂線の条件を内積で立てる。次に、点 $K$ は平面 $OBC$ 上にあるので、$\vec b,\vec c$ の一次結合として表す。

解法1

正四面体の一辺の長さが $1$ であるから、

$$ |\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=1 $$

である。また、例えば $AB=1$ より、

$$ |\vec b-\vec a|^2=1 $$

となる。したがって、

$$ |\vec b-\vec a|^2=|\vec b|^2+|\vec a|^2-2\vec a\cdot\vec b =2-2\vec a\cdot\vec b $$

より、

$$ \vec a\cdot\vec b=\frac12 $$

である。同様に、

$$ \vec b\cdot\vec c=\vec c\cdot\vec a=\frac12 $$

である。

点 $H$ は平面 $ABC$ 上にあるので、

$$ \overrightarrow{OH}=x\vec a+y\vec b+z\vec c $$

とおくと、

$$ x+y+z=1 $$

である。また、$OH$ は平面 $ABC$ に垂直だから、平面 $ABC$ 上の方向ベクトル $\vec b-\vec a,\vec c-\vec a$ と垂直である。

よって、

$$ \overrightarrow{OH}\cdot(\vec b-\vec a)=0 $$

である。これを計算すると、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OH}\cdot(\vec b-\vec a) &=(x\vec a+y\vec b+z\vec c)\cdot(\vec b-\vec a)\\ &=x\left(\frac12-1\right)+y\left(1-\frac12\right)+z\left(\frac12-\frac12\right)\\ &=-\frac{x}{2}+\frac{y}{2} \end{aligned} $$

であるから、$x=y$ である。

同様に、

$$ \overrightarrow{OH}\cdot(\vec c-\vec a)=0 $$

より、$x=z$ である。

したがって、

$$ x=y=z $$

であり、$x+y+z=1$ から、

$$ x=y=z=\frac13 $$

となる。よって、

$$ \overrightarrow{OH}=\frac13\vec a+\frac13\vec b+\frac13\vec c $$

である。

次に、$|\overrightarrow{OH}|$ を求める。

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{OH}|^2 &=\left|\frac13(\vec a+\vec b+\vec c)\right|^2\\ &=\frac19|\vec a+\vec b+\vec c|^2 \end{aligned} $$

ここで、

$$ \begin{aligned} |\vec a+\vec b+\vec c|^2 &=|\vec a|^2+|\vec b|^2+|\vec c|^2 +2(\vec a\cdot\vec b+\vec b\cdot\vec c+\vec c\cdot\vec a)\\ &=3+2\left(\frac12+\frac12+\frac12\right)\\ &=6 \end{aligned} $$

である。したがって、

$$ |\overrightarrow{OH}|^2=\frac{6}{9}=\frac23 $$

より、

$$ |\overrightarrow{OH}|=\frac{\sqrt6}{3} $$

である。

次に、点 $K$ を求める。点 $K$ は平面 $OBC$ 上にあるので、

$$ \overrightarrow{OK}=p\vec b+q\vec c $$

とおける。

また、$HK$ は平面 $OBC$ に垂直だから、$\vec b,\vec c$ の両方に垂直である。よって、

$$ (\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OK})\cdot\vec b=0 $$

および

$$ (\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OK})\cdot\vec c=0 $$

が成り立つ。

まず、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OH}\cdot\vec b &= \frac13(\vec a+\vec b+\vec c)\cdot\vec b\\ &= \frac13\left(\frac12+1+\frac12\right)\\ &= \frac23 \end{aligned} $$

である。また、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OK}\cdot\vec b &= (p\vec b+q\vec c)\cdot\vec b\\ &= p+\frac12q \end{aligned} $$

であるから、

$$ p+\frac12q=\frac23 $$

を得る。

同様に、

$$ \frac12p+q=\frac23 $$

を得る。この2式を解くと、

$$ p=q=\frac49 $$

である。したがって、

$$ \overrightarrow{OK}=0\vec a+\frac49\vec b+\frac49\vec c $$

である。

最後に、$|\overrightarrow{OK}|$ を求める。

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{OK}|^2 &=\left|\frac49(\vec b+\vec c)\right|^2\\ &=\frac{16}{81}|\vec b+\vec c|^2 \end{aligned} $$

ここで、

$$ \begin{aligned} |\vec b+\vec c|^2 &= |\vec b|^2+|\vec c|^2+2\vec b\cdot\vec c\\ &= 1+1+2\cdot\frac12\\ &= 3 \end{aligned} $$

である。よって、

$$ |\overrightarrow{OK}|^2=\frac{16}{81}\cdot 3=\frac{16}{27} $$

となるから、

$$ |\overrightarrow{OK}|=\frac{4\sqrt3}{9} $$

である。

解説

正四面体では、同じ頂点から出る3本の辺ベクトルの内積がすべて $\dfrac12$ になる。この事実を最初に確定すると、あとは垂線条件を内積で処理できる。

$H$ は平面 $ABC$ 上にあるため、係数の和が $1$ になる。一方、$K$ は平面 $OBC$ 上にあるため、$\vec a$ の係数は $0$ になる。ここを混同すると、$OK$ と $HK$ を取り違えやすい。

答え

$$ [ク]=\frac13,\quad [ケ]=\frac13,\quad [コ]=\frac13,\quad [サ]=\frac{\sqrt6}{3} $$

$$ [シ]=0,\quad [ス]=\frac49,\quad [セ]=\frac49,\quad [ソ]=\frac{4\sqrt3}{9} $$