数学C 空間ベクトル 問題 50 解説

方針・初手

三角形 $ABC$ を含む平面の方程式を求め，原点 $O$ からその平面へ下ろした垂線の足を求める。垂線の方向は平面の法線ベクトルと平行である。

解法1

$A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3)$ を通る平面は，切片形で

$$ \frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1 $$

と表せる。これを整理すると

$$ 6x+3y+2z=6 $$

である。

この平面の法線ベクトルは

$$ (6,3,2) $$

である。原点 $O$ からこの平面へ下ろした垂線は，原点を通り法線ベクトル $(6,3,2)$ に平行な直線なので，垂線上の点は実数 $t$ を用いて

$$ (x,y,z)=t(6,3,2) $$

と表せる。

この点が平面 $6x+3y+2z=6$ 上にあるとき，垂線の足 $H$ である。したがって

$$ 6(6t)+3(3t)+2(2t)=6 $$

より

$$ 36t+9t+4t=6 $$

すなわち

$$ 49t=6 $$

である。よって

$$ t=\frac{6}{49} $$

となる。

したがって

$$ H=\frac{6}{49}(6,3,2) $$

である。

また，$49$ は正の数であるから，問題文の形

$$ H=\frac{6}{\boxed{\text{ソ}}}(\boxed{\text{タ}},\boxed{\text{チ}},\boxed{\text{ツ}}) $$

と比較して，

$$ \boxed{\text{ソ}}=49,\quad \boxed{\text{タ}}=6,\quad \boxed{\text{チ}}=3,\quad \boxed{\text{ツ}}=2 $$

である。

解説

この問題では，三角形 $ABC$ そのものよりも，まず三角形 $ABC$ を含む平面を考えることが重要である。点 $A,B,C$ はそれぞれ座標軸上にあるので，平面の方程式は切片形で簡単に求められる。

原点から平面へ下ろした垂線の足は，平面の法線方向にある。したがって，法線ベクトルを用いて点を $t(6,3,2)$ とおき，それを平面の方程式に代入すればよい。

答え

$$ H=\frac{6}{49}(6,3,2) $$

したがって，

$$ \boxed{\text{ソ}=49,\quad \text{タ}=6,\quad \text{チ}=3,\quad \text{ツ}=2} $$