数学C 空間ベクトル 問題 56 解説

方針・初手

点 $P$ は直線 $AB$ 上にあるので、$P=A+t\overrightarrow{AB}$ とおく。さらに $OP\perp AB$ より、$\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{AB}=0$ を用いて $t$ を決める。

その後、直線 $CP$ を媒介変数で表し、$xy$ 平面との交点は $z=0$ となる条件から求める。

解法1

まず、

$$ \overrightarrow{AB}=B-A=(4,-2,-4) $$

である。点 $P$ は直線 $AB$ 上にあるから、実数 $t$ を用いて

$$ P=A+t\overrightarrow{AB} $$

とおける。すなわち、

$$ P=(0,2,4)+t(4,-2,-4)=(4t,2-2t,4-4t) $$

である。

条件 $OP\perp AB$ より、

$$ \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{AB}=0 $$

であるから、

$$ (4t,2-2t,4-4t)\cdot(4,-2,-4)=0 $$

を解く。

$$ 16t-2(2-2t)-4(4-4t)=0 $$

より、

$$ 16t-4+4t-16+16t=0 $$

したがって、

$$ 36t-20=0 $$

となるので、

$$ t=\frac{5}{9} $$

である。よって、

$$ P=\left(4\cdot\frac{5}{9},2-2\cdot\frac{5}{9},4-4\cdot\frac{5}{9}\right) =\left(\frac{20}{9},\frac{8}{9},\frac{16}{9}\right) $$

である。

次に、$\overrightarrow{CP}$ を求める。

$$ \overrightarrow{CP}=P-C =\left(\frac{20}{9},\frac{8}{9},\frac{16}{9}\right)-(1,4,4) $$

より、

$$ \overrightarrow{CP} =\left(\frac{11}{9},-\frac{28}{9},-\frac{20}{9}\right) $$

である。

直線 $CP$ 上の点を、実数 $s$ を用いて

$$ X=C+s\overrightarrow{CP} $$

と表す。つまり、

$$ X=(1,4,4)+s\left(\frac{11}{9},-\frac{28}{9},-\frac{20}{9}\right) $$

である。

点 $Q$ は $xy$ 平面上にあるから、$z$ 座標が $0$ である。したがって、

$$ 4+s\left(-\frac{20}{9}\right)=0 $$

を満たす。

$$ 4-\frac{20}{9}s=0 $$

より、

$$ s=\frac{9}{5} $$

である。したがって、

$$ Q=(1,4,4)+\frac{9}{5}\left(\frac{11}{9},-\frac{28}{9},-\frac{20}{9}\right) $$

となるので、

$$ Q=\left(1+\frac{11}{5},4-\frac{28}{5},4-4\right) =\left(\frac{16}{5},-\frac{8}{5},0\right) $$

である。

また、$s=0$ が $C$、$s=1$ が $P$、$s=\frac{9}{5}$ が $Q$ に対応する。したがって、$P$ から $Q$ までは、$C$ から $P$ までの長さの

$$ \frac{9}{5}-1=\frac{4}{5} $$

倍である。

よって、

$$ |CP|:|PQ|=1:\frac{4}{5}=5:4 $$

である。

解説

この問題の中心は、空間ベクトルの垂直条件を内積で表すことである。点 $P$ が直線 $AB$ 上にあることから $P=A+t\overrightarrow{AB}$ とおけば、垂直条件は $P\cdot\overrightarrow{AB}=0$ という一次方程式になる。

また、直線と $xy$ 平面の交点は、直線を媒介変数で表して $z=0$ を代入すればよい。比 $|CP|:|PQ|$ は実際に距離を計算しなくても、同一直線上の媒介変数の差から求められる。

答え

$$ \text{[シ]}=\left(\frac{20}{9},\frac{8}{9},\frac{16}{9}\right) $$

$$ \text{[ス]}=\left(\frac{11}{9},-\frac{28}{9},-\frac{20}{9}\right) $$

$$ \text{[セ]}:\text{[ソ]}=5:4 $$

$$ \text{[タ]}=\left(\frac{16}{5},-\frac{8}{5},0\right) $$