数学C 空間ベクトル 問題 57 解説

方針・初手

正四面体では、同じ頂点から出る3本の辺のなす角はいずれも $60^\circ$ である。したがって、1つの頂点 $A$ を基準にして

$$ \vec{AB}=\mathbf{u},\quad \vec{AC}=\mathbf{v},\quad \vec{AD}=\mathbf{w} $$

とおき、内積を計算するのが自然である。

このとき

$$ |\mathbf{u}|=|\mathbf{v}|=|\mathbf{w}|=r $$

かつ

$$ \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} =\mathbf{v}\cdot\mathbf{w} =\mathbf{w}\cdot\mathbf{u} =r^2\cos 60^\circ =\frac{r^2}{2} $$

である。

解法1

まず、

$$ \vec{CD}=\vec{AD}-\vec{AC}=\mathbf{w}-\mathbf{v} $$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} \vec{AB}\cdot\vec{CD} &=\mathbf{u}\cdot(\mathbf{w}-\mathbf{v})\\ &=\mathbf{u}\cdot\mathbf{w}-\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}\\ &=\frac{r^2}{2}-\frac{r^2}{2}\\ &=0 \end{aligned} $$

となる。よって、

$$ \vec{AB}\cdot\vec{CD}=0 $$

が示された。

次に、$P$ は辺 $AB$ の中点、$Q$ は辺 $CD$ の中点であるから、

$$ \vec{AP}=\frac{1}{2}\mathbf{u},\quad \vec{AQ}=\frac{1}{2}(\mathbf{v}+\mathbf{w}) $$

である。

よって、

$$ \vec{PQ} =\vec{AQ}-\vec{AP} =\frac{1}{2}(\mathbf{v}+\mathbf{w}-\mathbf{u}) $$

となる。

まず $\vec{AB}\cdot\vec{PQ}$ を計算する。

$$ \begin{aligned} \vec{AB}\cdot\vec{PQ} &=\mathbf{u}\cdot\frac{1}{2}(\mathbf{v}+\mathbf{w}-\mathbf{u})\\ &=\frac{1}{2}\left(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} +\mathbf{u}\cdot\mathbf{w} -\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}\right)\\ &=\frac{1}{2}\left(\frac{r^2}{2}+\frac{r^2}{2}-r^2\right)\\ &=0 \end{aligned} $$

よって、

$$ \vec{AB}\cdot\vec{PQ}=0 $$

である。

次に $\vec{CD}\cdot\vec{PQ}$ を計算する。

$$ \begin{aligned} \vec{CD}\cdot\vec{PQ} &=(\mathbf{w}-\mathbf{v})\cdot\frac{1}{2}(\mathbf{v}+\mathbf{w}-\mathbf{u})\\ &=\frac{1}{2}\left( \mathbf{w}\cdot\mathbf{v} +\mathbf{w}\cdot\mathbf{w} -\mathbf{w}\cdot\mathbf{u} -\mathbf{v}\cdot\mathbf{v} -\mathbf{v}\cdot\mathbf{w} +\mathbf{v}\cdot\mathbf{u} \right)\\ &=\frac{1}{2}\left( \frac{r^2}{2}+r^2-\frac{r^2}{2} -r^2-\frac{r^2}{2}+\frac{r^2}{2} \right)\\ &=0 \end{aligned} $$

よって、

$$ \vec{CD}\cdot\vec{PQ}=0 $$

である。

したがって、

$$ \vec{AB}\cdot\vec{PQ} = \vec{CD}\cdot\vec{PQ} =0 $$

が示された。

次に、$PQ$ の長さを求める。

$$ \vec{PQ}=\frac{1}{2}(\mathbf{v}+\mathbf{w}-\mathbf{u}) $$

より、

$$ \begin{aligned} |\vec{PQ}|^2 &=\frac{1}{4}|\mathbf{v}+\mathbf{w}-\mathbf{u}|^2\\ &=\frac{1}{4}\left( |\mathbf{v}|^2+|\mathbf{w}|^2+|\mathbf{u}|^2 +2\mathbf{v}\cdot\mathbf{w} -2\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} -2\mathbf{u}\cdot\mathbf{w} \right)\\ &=\frac{1}{4}\left( 3r^2+r^2-r^2-r^2 \right)\\ &=\frac{r^2}{2} \end{aligned} $$

したがって、

$$ PQ=\frac{r}{\sqrt{2}} $$

である。

最後に、座標を用いて $t$ と $Q$ の座標を求める。

$$ A(2,4,0),\quad B(3,6,0) $$

より、

$$ \vec{AB}=(1,2,0) $$

であり、

$$ r=|\vec{AB}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5} $$

である。また、$P$ は $AB$ の中点だから、

$$ P\left(\frac{5}{2},5,0\right) $$

である。

$Q(a,b,c)$ とおく。上で示したように $\vec{AB}\cdot\vec{PQ}=0$ であるから、

$$ (1,2,0)\cdot\left(a-\frac{5}{2},b-5,c\right)=0 $$

である。よって、

$$ a-\frac{5}{2}+2(b-5)=0 $$

すなわち、

$$ a+2b=\frac{25}{2} $$

である。

また、直線 $CD$ と $x$ 軸との交点を $R(t,0,0)$ とする。$R,Q$ はともに直線 $CD$ 上にあるので、$\vec{RQ}$ は直線 $CD$ の方向ベクトルである。

したがって、$\vec{AB}\cdot\vec{CD}=0$ より、

$$ (1,2,0)\cdot(a-t,b,c)=0 $$

である。ゆえに、

$$ a-t+2b=0 $$

となるから、

$$ t=a+2b=\frac{25}{2} $$

である。

ここで、

$$ x=a-\frac{5}{2},\quad y=b-5,\quad z=c $$

とおく。

先ほどの条件 $a+2b=\dfrac{25}{2}$ は、

$$ x+2y=0 $$

となる。したがって、

$$ y=-\frac{x}{2} $$

である。

また、$PQ=\dfrac{r}{\sqrt{2}}$ であり、ここでは $r=\sqrt{5}$ だから、

$$ PQ^2=\frac{5}{2} $$

である。よって、

$$ x^2+y^2+z^2=\frac{5}{2} $$

となる。

さらに、$\vec{CD}\cdot\vec{PQ}=0$ である。直線 $CD$ の方向ベクトルとして $\vec{RQ}$ を用いると、

$$ \vec{RQ}=(a-t,b,c) $$

である。すでに $t=a+2b$ とわかっているので、

$$ \vec{RQ}=(-2b,b,c) $$

である。

したがって、

$$ (-2b,b,c)\cdot(x,y,z)=0 $$

より、

$$ -2bx+by+z^2=0 $$

である。$y=-\dfrac{x}{2}$、また $b=5+y=5-\dfrac{x}{2}$ を代入すると、

$$ z^2=\frac{5}{2}bx $$

となる。すなわち、

$$ z^2=\frac{5}{2}\left(5-\frac{x}{2}\right)x =\frac{25}{2}x-\frac{5}{4}x^2 $$

である。

一方、

$$ x^2+y^2+z^2=\frac{5}{2} $$

に $y=-\dfrac{x}{2}$ を代入すると、

$$ \frac{5}{4}x^2+z^2=\frac{5}{2} $$

より、

$$ z^2=\frac{5}{2}-\frac{5}{4}x^2 $$

である。

したがって、

$$ \frac{5}{2}-\frac{5}{4}x^2 = \frac{25}{2}x-\frac{5}{4}x^2 $$

となるから、

$$ x=\frac{1}{5} $$

である。

よって、

$$ y=-\frac{1}{10} $$

であり、

$$ a=\frac{5}{2}+\frac{1}{5}=\frac{27}{10} $$

$$ b=5-\frac{1}{10}=\frac{49}{10} $$

である。

また、

$$ z^2=\frac{5}{2}-\frac{5}{4}\cdot\frac{1}{25} =\frac{5}{2}-\frac{1}{20} =\frac{49}{20} $$

より、

$$ z=\pm\frac{7\sqrt{5}}{10} $$

である。したがって、

$$ c=\pm\frac{7\sqrt{5}}{10} $$

である。

解説

正四面体の問題では、同じ頂点から出る3本の辺をベクトルでおくと、すべての長さが等しく、相互の内積も $\dfrac{r^2}{2}$ になる。この対称性を使うと、空間図形の垂直関係をほぼ計算だけで処理できる。

特に、正四面体では向かい合う辺 $AB$ と $CD$ が垂直であり、さらにそれぞれの中点を結ぶ線分 $PQ$ は、$AB$ と $CD$ の両方に垂直である。この $PQ$ は、ねじれの位置にある2辺 $AB,CD$ の共通垂線になっている。

座標問題では、前半で得た

$$ \vec{AB}\perp\vec{PQ},\quad \vec{AB}\perp\vec{CD},\quad \vec{CD}\perp\vec{PQ},\quad PQ=\frac{r}{\sqrt{2}} $$

をそのまま条件式に直すことが重要である。図形を座標だけで直接組み立てようとすると条件が見えにくいが、前半の結果を使うと式が整理される。

答え

(1)

$$ \vec{AB}\cdot\vec{CD}=0 $$

(2)

$$ \vec{AB}\cdot\vec{PQ} = \vec{CD}\cdot\vec{PQ} =0 $$

(3)

$$ PQ=\frac{r}{\sqrt{2}} $$

(4)

$$ t=\frac{25}{2} $$

$$ Q\left(\frac{27}{10},\frac{49}{10},\frac{7\sqrt{5}}{10}\right), \quad Q\left(\frac{27}{10},\frac{49}{10},-\frac{7\sqrt{5}}{10}\right) $$