数学C 空間ベクトル 問題 59 解説

方針・初手

$|OH|$ は点 $O$ から平面 $ABC$ までの距離である。まず条件から $A,B,C$ の座標を置き、平面 $ABC$ の方程式を求める。そこから点と平面の距離公式を用いればよい。

解法1

点 $O$ を原点とする。$\overrightarrow{OB}\perp \overrightarrow{OC}$ かつ $|OB|=|OC|=3$ であるから、座標軸を適当に選んで

$$ B=(3,0,0),\qquad C=(0,3,0) $$

とおける。

$A=(x,y,z)$ とする。$|OA|=2$ より

$$ x^2+y^2+z^2=4 $$

である。

また、$\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{BC}$ であり、

$$ \overrightarrow{BC}=(-3,3,0) $$

だから、

$$ (x,y,z)\cdot(-3,3,0)=0 $$

より、

$$ -3x+3y=0 $$

したがって

$$ x=y $$

である。

次に、$|AB|=\sqrt7$ より

$$ (3-x)^2+y^2+z^2=7 $$

である。ここで $y^2+z^2=4-x^2$ だから、

$$ (3-x)^2+4-x^2=7 $$

すなわち

$$ 9-6x+x^2+4-x^2=7 $$

より、

$$ 13-6x=7 $$

したがって

$$ x=1 $$

である。よって $y=1$ であり、

$$ 1^2+1^2+z^2=4 $$

から

$$ z^2=2 $$

となる。向きを取り替えればよいので、

$$ A=(1,1,\sqrt2) $$

としてよい。

平面 $ABC$ の方程式を

$$ lx+my+nz+d=0 $$

とおく。$B=(3,0,0)$ と $C=(0,3,0)$ を通るので、

$$ 3l+d=0,\qquad 3m+d=0 $$

である。したがって $l=m$ である。$l=m=1$ とおくと、$d=-3$ である。

さらに $A=(1,1,\sqrt2)$ を通るから、

$$ 1+1+n\sqrt2-3=0 $$

より、

$$ n=\frac{1}{\sqrt2} $$

である。したがって平面 $ABC$ の方程式は

$$ x+y+\frac{1}{\sqrt2}z-3=0 $$

であり、両辺に $\sqrt2$ をかけて

$$ \sqrt2x+\sqrt2y+z-3\sqrt2=0 $$

と書ける。

点 $O=(0,0,0)$ からこの平面までの距離は

$$ \frac{| -3\sqrt2 |}{\sqrt{(\sqrt2)^2+(\sqrt2)^2+1^2}} =\frac{3\sqrt2}{\sqrt5} =\frac{3\sqrt{10}}{5} $$

である。

したがって、

$$ |OH|=\frac{3\sqrt{10}}{5} $$

である。

解法2

$\overrightarrow{OA}=\mathbf a,\ \overrightarrow{OB}=\mathbf b,\ \overrightarrow{OC}=\mathbf c$ とおく。

条件より

$$ |\mathbf a|=2,\qquad |\mathbf b|=|\mathbf c|=3,\qquad \mathbf b\cdot\mathbf c=0 $$

である。

また、$\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{BC}$ より、

$$ \mathbf a\cdot(\mathbf c-\mathbf b)=0 $$

だから、

$$ \mathbf a\cdot\mathbf b=\mathbf a\cdot\mathbf c $$

である。

さらに $|AB|=\sqrt7$ より、

$$ |\mathbf b-\mathbf a|^2=7 $$

である。したがって

$$ |\mathbf b|^2+|\mathbf a|^2-2\mathbf a\cdot\mathbf b=7 $$

より、

$$ 9+4-2\mathbf a\cdot\mathbf b=7 $$

となる。よって

$$ \mathbf a\cdot\mathbf b=3 $$

である。したがって

$$ \mathbf a\cdot\mathbf c=3 $$

も成り立つ。

点 $H$ は平面 $ABC$ 上にあるので、

$$ \overrightarrow{OH}=x\mathbf a+y\mathbf b+z\mathbf c,\qquad x+y+z=1 $$

とおける。

また、$OH$ は平面 $ABC$ に垂直であるから、

$$ \overrightarrow{OH}\perp \overrightarrow{AB},\qquad \overrightarrow{OH}\perp \overrightarrow{AC} $$

である。すなわち

$$ \overrightarrow{OH}\cdot(\mathbf b-\mathbf a)=0,\qquad \overrightarrow{OH}\cdot(\mathbf c-\mathbf a)=0 $$

である。

まず、

$$ \overrightarrow{OH}\cdot\mathbf b=3x+9y $$

かつ

$$ \overrightarrow{OH}\cdot\mathbf a=4x+3y+3z $$

であるから、

$$ 3x+9y=4x+3y+3z $$

すなわち

$$ -x+6y-3z=0 $$

である。

同様に、

$$ \overrightarrow{OH}\cdot\mathbf c=3x+9z $$

だから、

$$ 3x+9z=4x+3y+3z $$

より、

$$ -x-3y+6z=0 $$

である。

したがって

$$ \begin{cases} x+y+z=1,\\ -x+6y-3z=0,\\ -x-3y+6z=0 \end{cases} $$

を解けばよい。

第2式と第3式の差をとると

$$ 9y-9z=0 $$

より、

$$ y=z $$

である。第2式に代入して

$$ -x+3y=0 $$

だから、

$$ x=3y $$

である。

これを $x+y+z=1$ に代入すると、

$$ 3y+y+y=1 $$

より、

$$ y=z=\frac15,\qquad x=\frac35 $$

である。したがって

$$ \overrightarrow{OH} =\frac35\mathbf a+\frac15\mathbf b+\frac15\mathbf c $$

である。

よって、

$$ \begin{aligned} |OH|^2 &=\left|\frac35\mathbf a+\frac15\mathbf b+\frac15\mathbf c\right|^2\\ &=\frac{9}{25}|\mathbf a|^2+\frac{1}{25}|\mathbf b|^2+\frac{1}{25}|\mathbf c|^2 +\frac{6}{25}\mathbf a\cdot\mathbf b+\frac{6}{25}\mathbf a\cdot\mathbf c +\frac{2}{25}\mathbf b\cdot\mathbf c\\ &=\frac{9}{25}\cdot4+\frac{1}{25}\cdot9+\frac{1}{25}\cdot9 +\frac{6}{25}\cdot3+\frac{6}{25}\cdot3+\frac{2}{25}\cdot0\\ &=\frac{18}{5} \end{aligned} $$

である。したがって

$$ |OH|=\sqrt{\frac{18}{5}}=\frac{3\sqrt{10}}{5} $$

である。

解説

この問題では、空間図形をそのまま追うよりも、垂直条件を内積に直すことが重要である。

座標を置く解法では、$\overrightarrow{OB}\perp\overrightarrow{OC}$ を利用して $B=(3,0,0), C=(0,3,0)$ と置けるため、計算がかなり単純になる。さらに $\overrightarrow{OA}\perp\overrightarrow{BC}$ と $|AB|=\sqrt7$ から $A$ の座標が決まり、最後は点と平面の距離公式に帰着する。

ベクトル解法では、$H$ が平面 $ABC$ 上にあることを

$$ \overrightarrow{OH}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC},\qquad x+y+z=1 $$

と表し、$OH$ が平面に垂直であることを

$$ \overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{AB}=0,\qquad \overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{AC}=0 $$

に変換するのが核心である。

答え

$$ |OH|=\frac{3\sqrt{10}}{5} $$