数学C 空間ベクトル 問題 58 解説

方針・初手

座標がすべて与えられているので、まず各点の位置ベクトルをそのまま用いて内積を計算する。

(1) で $\overrightarrow{OC}$ が $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ の両方に垂直であることが分かれば、(3) では $\overrightarrow{OC}$ を三角形 $OAB$ を底面とする四面体の高さとして利用できる。

解法1

各ベクトルは

$$ \overrightarrow{OA}=(t,0,t) $$

$$ \overrightarrow{OB}=(\sqrt{2}t,1-2t,\sqrt{2}(1-t)) $$

$$ \overrightarrow{OC}=(-t,-\sqrt{2}t,t) $$

である。

(1)

まず $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}$ を計算する。

$$ \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC} =t(-t)+0\cdot(-\sqrt{2}t)+t\cdot t =-t^2+t^2 =0 $$

したがって、

$$ \overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OC} $$

である。

次に $\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}$ を計算する。

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC} &=(\sqrt{2}t)(-t)+(1-2t)(-\sqrt{2}t)+\sqrt{2}(1-t)\cdot t\\ &=-\sqrt{2}t^2-\sqrt{2}t(1-2t)+\sqrt{2}t(1-t)\\ &=\sqrt{2}{-t^2-t+2t^2+t-t^2}\\ &=0 \end{aligned} $$

したがって、

$$ \overrightarrow{OB}\perp \overrightarrow{OC} $$

である。

よって、

$$ \overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OC},\qquad \overrightarrow{OB}\perp \overrightarrow{OC} $$

が示された。

(2)

三角形 $OAB$ の面積を $S(t)$ とする。

まず、

$$ |\overrightarrow{OA}|^2=t^2+0^2+t^2=2t^2 $$

である。また、

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{OB}|^2 &=(\sqrt{2}t)^2+(1-2t)^2+{\sqrt{2}(1-t)}^2\\ &=2t^2+(1-4t+4t^2)+2(1-2t+t^2)\\ &=8t^2-8t+3 \end{aligned} $$

さらに、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB} &=t\cdot \sqrt{2}t+0\cdot(1-2t)+t\cdot \sqrt{2}(1-t)\\ &=\sqrt{2}t^2+\sqrt{2}t(1-t)\\ &=\sqrt{2}t \end{aligned} $$

三角形の面積は、2つのベクトルがつくる平行四辺形の面積の半分なので、

$$ S(t)=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{OA}|^2|\overrightarrow{OB}|^2-(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB})^2} $$

である。これに代入すると、

$$ \begin{aligned} S(t) &=\frac{1}{2}\sqrt{2t^2(8t^2-8t+3)-(\sqrt{2}t)^2}\\ &=\frac{1}{2}\sqrt{2t^2(8t^2-8t+3)-2t^2}\\ &=\frac{1}{2}\sqrt{2t^2(8t^2-8t+2)}\\ &=\frac{1}{2}\sqrt{4t^2(2t-1)^2}\\ &=t|2t-1| \end{aligned} $$

ここで $0<t<\dfrac{1}{2}$ より $2t-1<0$ であるから、

$$ |2t-1|=1-2t $$

となる。よって、

$$ S(t)=t(1-2t) $$

である。

(3)

(1) より、$\overrightarrow{OC}$ は $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ の両方に垂直である。

したがって、$\overrightarrow{OC}$ は平面 $OAB$ に垂直である。よって、四面体 $OABC$ の体積は、三角形 $OAB$ を底面、$OC$ を高さとして求められる。

まず、

$$ |\overrightarrow{OC}|=\sqrt{(-t)^2+(-\sqrt{2}t)^2+t^2} =\sqrt{4t^2} =2t $$

である。

したがって、体積 $V(t)$ は

$$ \begin{aligned} V(t) &=\frac{1}{3}S(t)|\overrightarrow{OC}|\\ &=\frac{1}{3}\cdot t(1-2t)\cdot 2t\\ &=\frac{2}{3}t^2(1-2t) \end{aligned} $$

である。

あとは $0<t<\dfrac{1}{2}$ において

$$ V(t)=\frac{2}{3}t^2(1-2t) $$

の最大値を求める。

定数倍を除き、

$$ f(t)=t^2(1-2t) $$

を考える。

$$ \begin{aligned} f'(t) &=2t(1-2t)-2t^2\\ &=2t-6t^2\\ &=2t(1-3t) \end{aligned} $$

したがって、$0<t<\dfrac{1}{2}$ における増減は、$0<t<\dfrac{1}{3}$ で増加し、$\dfrac{1}{3}<t<\dfrac{1}{2}$ で減少する。

よって、$t=\dfrac{1}{3}$ のとき最大となる。

このとき、

$$ \begin{aligned} V\left(\frac{1}{3}\right) &=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{3}\right)^2\left(1-\frac{2}{3}\right)\\ &=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{9}\cdot \frac{1}{3}\\ &=\frac{2}{81} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の中心は、(1) の垂直関係をその後の体積計算に利用することである。

座標空間の四面体の体積は、混合積で計算する方法もあるが、この問題では $\overrightarrow{OC}$ が $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ の両方に垂直になるように設定されている。そのため、三角形 $OAB$ を底面とし、$OC$ を高さと見るのが最も自然である。

また、(2) の面積計算では、$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ が垂直ではないため、単純に $\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|$ としてはいけない。内積を用いた面積公式を使う必要がある。

答え

(1)

$$ \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}=0,\qquad \overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}=0 $$

より、

$$ \overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OC},\qquad \overrightarrow{OB}\perp \overrightarrow{OC} $$

である。

(2)

$$ S(t)=t(1-2t) $$

(3)

$$ V(t)=\frac{2}{3}t^2(1-2t) $$

より、最大値は

$$ \frac{2}{81} $$

である。このとき、

$$ t=\frac{1}{3} $$

である。