数学C 空間ベクトル問題 65 解説

方針・初手

点 $C$ が $(0,0,1)$ であることから、$\overrightarrow{OC}$ は $z$ 軸方向の単位ベクトルである。したがって、$\alpha=\angle AOC$ は $\overrightarrow{OA}$ と $z$ 軸のなす角であり、$a_3$ はすぐに内積から求まる。

その後、$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ の $xy$ 平面成分に対してコーシー・シュワルツの不等式を用いる。

解法1

$\overrightarrow{OC}=(0,0,1)$ であり、$\overrightarrow{OA}=(a_1,a_2,a_3)$ は単位ベクトルである。

よって、

$$ \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}=a_3 $$

である。一方、$\angle AOC=\alpha$ だから、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC} &= |\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OC}|\cos\alpha\\ &= \cos\alpha \end{aligned} $$

である。したがって、

$$ a_3=\cos\alpha $$

である。

また、$\overrightarrow{OA}$ は単位ベクトルなので、

$$ a_1^2+a_2^2+a_3^2=1 $$

である。これに $a_3=\cos\alpha$ を代入すると、

$$ a_1^2+a_2^2=1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha $$

となる。$0<\alpha\leqq \pi$ より $\sin\alpha\geqq 0$ だから、

$$ \sqrt{a_1^2+a_2^2}=\sin\alpha $$

である。

同様に、$\overrightarrow{OB}=(b_1,b_2,b_3)$ について、

$$ b_3=\cos\beta,\qquad \sqrt{b_1^2+b_2^2}=\sin\beta $$

である。

次に、

$$ \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB} = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 $$

である。ここで、$xy$ 平面成分 $(a_1,a_2)$ と $(b_1,b_2)$ に対してコーシー・シュワルツの不等式を用いると、

$$ a_1b_1+a_2b_2 \geqq -\sqrt{a_1^2+a_2^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2} $$

である。

(1) の結果より、

$$ \sqrt{a_1^2+a_2^2}=\sin\alpha,\qquad \sqrt{b_1^2+b_2^2}=\sin\beta $$

であり、また

$$ a_3b_3=\cos\alpha\cos\beta $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB} &=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\\ &\geqq -\sin\alpha\sin\beta+\cos\alpha\cos\beta\\ &=\cos(\alpha+\beta) \end{aligned} $$

となる。

よって、

$$ \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}\geqq \cos(\alpha+\beta) $$

である。

最後に、$\theta=\angle AOB$ であり、$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ は単位ベクトルだから、

$$ \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=\cos\theta $$

である。したがって、(2) より、

$$ \cos\theta\geqq \cos(\alpha+\beta) $$

である。

ここで場合分けして考える。

(i)

$0<\alpha+\beta\leqq \pi$ のとき

$\cos x$ は $0\leqq x\leqq \pi$ で単調減少である。$\theta$ も $0<\theta\leqq \pi$ を満たすので、

$$ \cos\theta\geqq \cos(\alpha+\beta) $$

から、

$$ \theta\leqq \alpha+\beta $$

が従う。

(ii)

$\pi<\alpha+\beta$ のとき

$\theta\leqq \pi$ であるから、

$$ \theta\leqq \pi<\alpha+\beta $$

である。したがってこの場合も、

$$ \theta<\alpha+\beta $$

である。

以上より、常に

$$ \theta\leqq \alpha+\beta $$

が成り立つ。

解説

この問題の中心は、球面上の点を $z$ 軸方向成分と $xy$ 平面成分に分けることである。

点 $C=(0,0,1)$ が固定されているため、$\angle AOC$ は $\overrightarrow{OA}$ の $z$ 成分を直接決める。つまり、$a_3=\cos\alpha$ であり、残りの $xy$ 平面成分の長さは $\sin\alpha$ になる。

(2) では、$xy$ 平面成分同士の内積が最小になる場合を考えればよい。コーシー・シュワルツの不等式から、

$$ a_1b_1+a_2b_2\geqq -\sin\alpha\sin\beta $$

となり、これが $\cos(\alpha+\beta)$ につながる。

(3) では、$\cos\theta\geqq \cos(\alpha+\beta)$ からすぐに $\theta\leqq \alpha+\beta$ と言いたくなるが、$\alpha+\beta$ は $\pi$ を超える可能性がある。したがって、$\alpha+\beta\leqq \pi$ と $\alpha+\beta>\pi$ に分ける必要がある。