数学C 空間ベクトル 問題 66 解説

方針・初手

三角形の面積をベクトルの外積で表す。 (1)では $\triangle ABC$ の面積を外積で求め、底辺 $AB$ の長さで割れば高さが出る。 (2)では $S,S_1,S_2,S_3$ を $a,b,c$ で表し、最後はコーシー・シュワルツの不等式に帰着する。

解法1

まず、

$$ A(a,0,0),\quad B(0,b,0),\quad C(0,0,c) $$

であるから、

$$ \overrightarrow{AB}=(-a,b,0),\quad \overrightarrow{AC}=(-a,0,c) $$

である。

外積を計算すると、

$$ \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} = (bc,ac,ab) $$

となる。したがって、

$$ |\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2} $$

である。

よって、$\triangle ABC$ の面積 $S$ は

$$ S = \frac{1}{2} \sqrt{a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2} $$

である。

一方、底辺 $AB$ の長さは

$$ AB=\sqrt{a^2+b^2} $$

である。辺 $AB$ を底辺としたときの高さを $h$ とすると、

$$ S=\frac{1}{2}AB\cdot h $$

より、

$$ h= \frac{2S}{AB} = \frac{\sqrt{a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2}}{\sqrt{a^2+b^2}} $$

である。

次に、各三角形の面積を求める。

$\triangle OAB$ は $xy$ 平面上の直角三角形であるから、

$$ S_1=\frac{1}{2}ab $$

である。同様に、

$$ S_2=\frac{1}{2}bc,\quad S_3=\frac{1}{2}ca $$

である。

したがって、

$$ S_1+S_2+S_3 = \frac{1}{2}(ab+bc+ca) $$

である。

一方、

$$ S = \frac{1}{2} \sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2} $$

であるから、示すべき不等式

$$ \sqrt{3}S\geqq S_1+S_2+S_3 $$

は、

$$ \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2} \geqq \frac{1}{2}(ab+bc+ca) $$

すなわち、

$$ \sqrt{3} \sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2} \geqq ab+bc+ca $$

を示せばよい。

これは、コーシー・シュワルツの不等式より、

$$ (ab+bc+ca)^2 \leqq (1^2+1^2+1^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) $$

すなわち、

$$ (ab+bc+ca)^2 \leqq 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) $$

が成り立つことから従う。両辺は正であるため平方根を取って、

$$ ab+bc+ca \leqq \sqrt{3} \sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2} $$

となる。よって、

$$ \sqrt{3}S\geqq S_1+S_2+S_3 $$

が示された。

最後に等号成立条件を調べる。コーシー・シュワルツの不等式で等号が成り立つのは、

$$ ab=bc=ca $$

のときである。

ここで $a,b,c$ は正であるから、

$$ ab=bc \Rightarrow a=c $$

また、

$$ bc=ca \Rightarrow b=a $$

である。したがって、

$$ a=b=c $$

が等号成立条件である。

逆に、$a=b=c$ のときは $ab=bc=ca$ となるので、確かに等号が成り立つ。

解説

この問題の中心は、$\triangle ABC$ の面積を外積で一度に求めることである。座標空間内の三角形では、辺の長さや角度を個別に処理するよりも、外積を使う方が計算が整理される。

(2)では、$S_1,S_2,S_3$ がそれぞれ座標平面上の直角三角形の面積になるため、

$$ S_1=\frac{ab}{2},\quad S_2=\frac{bc}{2},\quad S_3=\frac{ca}{2} $$

とすぐに表せる。あとは

$$ ab,\quad bc,\quad ca $$

という3つの正の数に対するコーシー・シュワルツの不等式を使えばよい。

等号条件では、単に「コーシーの等号条件」と書くだけでなく、$ab=bc=ca$ から $a=b=c$ が出ることまで確認する必要がある。

答え

(1)

辺 $AB$ を底辺としたときの $\triangle ABC$ の高さは

$$ \frac{\sqrt{a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2}}{\sqrt{a^2+b^2}} $$

である。

(2)

$$ \sqrt{3}S\geqq S_1+S_2+S_3 $$

が成り立つ。

(3)

等号成立条件は

$$ a=b=c $$

である。