数学C 空間ベクトル 問題 70 解説

方針・初手

点 $P$ がのる球面の半径は、$OP$ の長さを計算すればよい。

また、条件 $\overrightarrow{OQ}\cdot\overrightarrow{QP}=0$ は、ベクトル $\overrightarrow{OQ}$ と $\overrightarrow{QP}$ の内積を直接計算して、$s$ についての方程式に直す。

解法1

点

$$ P\left(\cos t,\frac{-1+\sin t}{\sqrt{2}},\frac{1+\sin t}{\sqrt{2}}\right) $$

について、$OP^2$ を求める。

$$ \begin{aligned} OP^2 &=(\cos t)^2+\left(\frac{-1+\sin t}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{1+\sin t}{\sqrt{2}}\right)^2 \\ &=\cos^2 t+\frac{(-1+\sin t)^2+(1+\sin t)^2}{2} \end{aligned} $$

ここで、

$$ \begin{aligned} (-1+\sin t)^2+(1+\sin t)^2 &=(1-2\sin t+\sin^2 t)+(1+2\sin t+\sin^2 t) \\ &=2+2\sin^2 t \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} OP^2 &=\cos^2 t+\frac{2+2\sin^2 t}{2} \\ &=\cos^2 t+1+\sin^2 t \\ &=2 \end{aligned} $$

したがって、点 $P$ は原点を中心とする半径 $\sqrt{2}$ の球面上にある。

次に、

$$ Q(0,s,-s) $$

より、

$$ \overrightarrow{OQ}=(0,s,-s) $$

である。また、

$$ \overrightarrow{QP} = \left( \cos t, \frac{-1+\sin t}{\sqrt{2}}-s, \frac{1+\sin t}{\sqrt{2}}+s \right) $$

である。

よって内積は、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OQ}\cdot\overrightarrow{QP} &=0\cdot \cos t +s\left(\frac{-1+\sin t}{\sqrt{2}}-s\right) +(-s)\left(\frac{1+\sin t}{\sqrt{2}}+s\right) \\ &=s\left\{\frac{-1+\sin t}{\sqrt{2}}-s-\frac{1+\sin t}{\sqrt{2}}-s\right\} \\ &=s\left\{\frac{-2}{\sqrt{2}}-2s\right\} \\ &=s(-\sqrt{2}-2s) \end{aligned} $$

したがって、

$$ \overrightarrow{OQ}\cdot\overrightarrow{QP}=0 $$

となる条件は、

$$ s(-\sqrt{2}-2s)=0 $$

である。よって、

$$ s=0,\quad s=-\frac{\sqrt{2}}{2} $$

となる。

解説

前半は、座標から距離を計算し、$\sin^2 t+\cos^2 t=1$ を使うだけで半径が求まる。

後半では、$\overrightarrow{QP}$ を $P-Q$ として作ることが重要である。内積を計算すると $\sin t$ の項が打ち消されるため、条件は $t$ によらない $s$ の方程式になる。

答え

$$ [3]=\sqrt{2} $$

$$ [4]=-\frac{\sqrt{2}}{2} $$