数学C 空間ベクトル 問題 69 解説

方針・初手

まず $A,B,C$ を通る平面の方程式を求める。点 $D$ が同じ平面上にある条件から $x$ を $a$ で表し、その後、$a$ を動かしたときの点 $D$ の軌跡を直線として扱う。

その直線と直線 $AB$、直線 $AC$ との交点がそれぞれ $P,Q$ である。

解法1

$A(1,0,3),B(0,4,-2),C(4,-3,0)$ より、

$$ \overrightarrow{AB}=(-1,4,-5),\qquad \overrightarrow{AC}=(3,-3,-3) $$

である。平面 $ABC$ の法線ベクトルは、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の両方に垂直なベクトルである。ここで

$$ \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(-27,-18,-9) $$

より、法線ベクトルとして $(3,2,1)$ をとれる。

したがって、点 $A(1,0,3)$ を通る平面 $ABC$ の方程式は

$$ 3(X-1)+2(Y-0)+(Z-3)=0 $$

すなわち

$$ 3X+2Y+Z-6=0 $$

である。

点 $D(-7+5a,14-8a,x)$ がこの平面上にあるから、

$$ 3(-7+5a)+2(14-8a)+x-6=0 $$

これを整理すると、

$$ -21+15a+28-16a+x-6=0 $$

より、

$$ x-a+1=0 $$

したがって、

$$ x=a-1 $$

である。

よって、$a$ を動かしたときの点 $D$ は

$$ D(-7+5a,14-8a,a-1) $$

と表される。

次に、この点 $D$ の軌跡と直線 $AB$ の交点を求める。直線 $AB$ 上の点を

$$ A+s\overrightarrow{AB} $$

とおくと、

$$ (1,0,3)+s(-1,4,-5)=(1-s,4s,3-5s) $$

である。これが $D(-7+5a,14-8a,a-1)$ と一致するとき、

$$ \begin{cases} 1-s=-7+5a\\ 4s=14-8a\\ 3-5s=a-1 \end{cases} $$

である。第1式、第2式から

$$ s=\frac12,\qquad a=\frac32 $$

を得る。このとき第3式も

$$ 3-5\cdot \frac12=\frac12,\qquad \frac32-1=\frac12 $$

となり、確かに成り立つ。

したがって、

$$ P=(1-\frac12,4\cdot \frac12,3-5\cdot \frac12) =\left(\frac12,2,\frac12\right) $$

である。

同様に、直線 $AC$ 上の点を

$$ A+t\overrightarrow{AC} $$

とおくと、

$$ (1,0,3)+t(3,-3,-3)=(1+3t,-3t,3-3t) $$

である。これが $D(-7+5a,14-8a,a-1)$ と一致するとき、

$$ \begin{cases} 1+3t=-7+5a\\ -3t=14-8a\\ 3-3t=a-1 \end{cases} $$

である。第1式、第2式から

$$ t=\frac23,\qquad a=2 $$

を得る。このとき第3式も

$$ 3-3\cdot \frac23=1,\qquad 2-1=1 $$

となり、確かに成り立つ。

したがって、

$$ Q=(1+3\cdot \frac23,-3\cdot \frac23,3-3\cdot \frac23) =(3,-2,1) $$

である。

最後に、面積比を求める。点 $P$ は直線 $AB$ 上で

$$ \frac{AP}{AB}=\frac12 $$

を満たし、点 $Q$ は直線 $AC$ 上で

$$ \frac{AQ}{AC}=\frac23 $$

を満たす。

三角形 $ABC$ と三角形 $APQ$ は、頂点 $A$ を共有し、辺 $AP$ は $AB$ 上、辺 $AQ$ は $AC$ 上にある。よって、挟む角は同じであるから、面積比は対応する2辺の比の積になる。

$$ \begin{aligned} \frac{S_2}{S_1} &= \frac{AP}{AB}\cdot \frac{AQ}{AC}\\ &= \frac12\cdot \frac23\\ &= \frac13 \end{aligned} $$

解説

この問題では、まず $A,B,C$ が定める平面を具体的に求めることが重要である。平面の方程式に $D$ を代入すれば、$x$ と $a$ の関係はすぐに得られる。

また、$a$ を動かすと $D$ は空間内の直線上を動く。この直線が直線 $AB$、直線 $AC$ と交わる点を、それぞれパラメータ表示で求めればよい。

面積比は座標から直接面積を計算してもよいが、$P$ が $AB$ 上、$Q$ が $AC$ 上にあることを使うと、

$$ \frac{S_2}{S_1} = \frac{AP}{AB}\cdot \frac{AQ}{AC} $$

で一気に求められる。

答え

(1)

$$ x=a-1 $$

(2)

$$ P=\left(\frac12,2,\frac12\right),\qquad Q=(3,-2,1) $$

(3)

$$ \frac{S_2}{S_1}=\frac13 $$