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数学C 空間ベクトル問題 73 解説

方針・初手

平面 $\alpha$ は点 $A,B,C$ を通るので、まず

$$ \overrightarrow{AB},\quad \overrightarrow{AC} $$

を求める。 (1), (2) はベクトル表示の係数比較で処理する。 (3) は平面 $\alpha$ の方程式を求め、原点からの垂線の足を法線ベクトル方向に置く。

解法1

まず

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= (2,-1,0)-(1,0,1)\\ &= (1,-1,-1) \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AC} &= (1,1,2)-(1,0,1)\\ &= (0,1,1) \end{aligned} $$

である。

(1)

$P(0,a,b)$ とすると、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AP} &= (0,a,b)-(1,0,1)\\ &= (-1,a,b-1) \end{aligned} $$

である。条件

$$ \overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AB} $$

より、

$$ (-1,a,b-1)=t(1,-1,-1) $$

である。成分を比較すると、

$$ \begin{cases} -1=t \\ a=-t \\ b-1=-t \end{cases} $$

よって

$$ t=-1,\quad a=1,\quad b=2 $$

である。

(2)

$Q(2,0,c)$ とすると、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AQ} &= (2,0,c)-(1,0,1)\\ &= (1,0,c-1) \end{aligned} $$

である。条件

$$ \overrightarrow{AQ}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC} $$

より、

$$ (1,0,c-1) = s(1,-1,-1)+t(0,1,1) $$

である。右辺を整理すると、

$$ s(1,-1,-1)+t(0,1,1) = (s,-s+t,-s+t) $$

したがって

$$ (1,0,c-1)=(s,-s+t,-s+t) $$

である。成分を比較して、

$$ \begin{cases} 1=s \\ 0=-s+t \\ c-1=-s+t \end{cases} $$

となる。$s=1$ であり、$0=-1+t$ より $t=1$ である。また $c-1=0$ より、

$$ c=1 $$

である。

したがって

$$ s=1,\quad t=1,\quad c=1 $$

である。

(3)

平面 $\alpha$ の法線ベクトルを求める。

$$ \overrightarrow{AB}=(1,-1,-1),\quad \overrightarrow{AC}=(0,1,1) $$

に垂直なベクトルとして、外積を用いると

$$ \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = (0,-1,1) $$

である。よって平面 $\alpha$ の法線ベクトルは

$$ \boldsymbol{n}=(0,-1,1) $$

とできる。

平面 $\alpha$ は点 $A(1,0,1)$ を通るので、

$$ \boldsymbol{n}\cdot{(x,y,z)-(1,0,1)}=0 $$

より、

$$ (0,-1,1)\cdot(x-1,y,z-1)=0 $$

したがって

$$ -y+z-1=0 $$

すなわち

$$ z-y=1 $$

である。

原点 $O$ から平面 $\alpha$ に下ろした垂線の足を $H$ とする。直線 $OH$ は法線ベクトル $\boldsymbol{n}=(0,-1,1)$ に平行なので、

$$ H=\lambda(0,-1,1)=(0,-\lambda,\lambda) $$

とおける。

点 $H$ は平面 $\alpha$ 上にあるから、

$$ z-y=1 $$

に代入して、

$$ \lambda-(-\lambda)=1 $$

よって

$$ 2\lambda=1 $$

であるから、

$$ \lambda=\frac{1}{2} $$

となる。したがって

$$ H=\left(0,-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) $$

である。

また、

$$ \begin{aligned} OH &= \sqrt{0^2+\left(-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}\\ &= \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}\\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、点 $A$ を始点にして $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ を基準ベクトルにするのが自然である。

(1) は直線 $AB$ 上の点が $yz$ 平面、すなわち $x=0$ 上にある条件を係数比較で求める問題である。

(2) は点 $Q$ が平面 $\alpha$ 上にあることを、平面上のベクトル表示

$$ \overrightarrow{AQ}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC} $$

で表している。ここでも各成分を比較すればよい。

(3) では、平面の法線ベクトルを求めることが重要である。$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の両方に垂直なベクトルを求めれば、平面 $\alpha$ の方程式を作ることができる。原点から平面への垂線はこの法線ベクトルと平行であるため、$H=\lambda(0,-1,1)$ とおくことで垂線の足を求められる。