数学C 空間ベクトル 問題 74 解説

方針・初手

まず $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ を求め、内積・角度・面積を順に計算する。

点 $D$ については、$DG\perp AB,\ DG\perp AC$ より、$DG$ は平面 $ABC$ に垂直である。したがって、四面体 $ABCD$ の体積は、底面を $\triangle ABC$、高さを $DG$ として求めればよい。

解法1

まず、

$$ \overrightarrow{AB}=B-A=(1,-2,1),\qquad \overrightarrow{AC}=C-A=(0,-1,1) $$

である。

内積は

$$ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} =1\cdot 0+(-2)(-1)+1\cdot 1 =3 $$

である。よって、$[1]=3$ である。

また、

$$ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{6},\qquad |\overrightarrow{AC}|=\sqrt{0^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{2} $$

より、

$$ \cos\angle BAC = \frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}} \begin{aligned} {|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|} &= \frac{3}{\sqrt{6}\sqrt{2}}\\ &= \frac{3}{2\sqrt{3}}\\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} $$

となる。したがって、

$$ \angle BAC=\frac{\pi}{6} $$

であり、$[2]=\dfrac{\pi}{6}$ である。

次に、三角形 $ABC$ の面積を求める。

$$ \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ 1 & -2 & 1\\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix} =(-1,-1,-1) $$

したがって、

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}| &= \sqrt{(-1)^2+(-1)^2+(-1)^2}\\ &= \sqrt{3} \end{aligned} $$

である。よって、

$$ \begin{aligned} \triangle ABC\text{の面積} &= \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|\\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} $$

となり、$[3]=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ である。

重心 $G$ は、$A,B,C$ の各座標の平均であるから、

$$ G = \left( \frac{0+1+0}{3}, \frac{2+0+1}{3}, \frac{0+1+1}{3} \right) = \left(\frac{1}{3},1,\frac{2}{3}\right) $$

である。よって、$[4]=\left(\dfrac{1}{3},1,\dfrac{2}{3}\right)$ である。

ここで、$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ は同じ平面 $ABC$ 上の平行でない2本のベクトルである。$DG\perp AB,\ DG\perp AC$ より、$DG$ は平面 $ABC$ に垂直である。

四面体 $ABCD$ の体積を $V$、$\triangle ABC$ の面積を $S$、高さを $DG=h$ とすると、

$$ V=\frac{1}{3}Sh $$

である。いま $V=1,\ S=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ だから、

$$ 1 = \frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot h $$

より、

$$ h=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3} $$

である。したがって、$DG$ の長さは

$$ DG=2\sqrt{3} $$

となり、$[5]=2\sqrt{3}$ である。

次に $D$ の座標を求める。

平面 $ABC$ の法線ベクトルとして、

$$ (1,1,1) $$

をとることができる。これは $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-1,-1,-1)$ と同じ方向のベクトルである。

単位法線ベクトルは

$$ \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1) $$

である。$DG=2\sqrt{3}$ だから、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{GD} &= \pm 2\sqrt{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)\\ &= \pm(2,2,2) \end{aligned} $$

である。

したがって、

$$ D = G\pm(2,2,2) \left(\frac{1}{3},1,\frac{2}{3}\right)\pm(2,2,2) $$

となる。

2点の候補は

$$ \left(\frac{7}{3},3,\frac{8}{3}\right), \qquad \left(-\frac{5}{3},-1,-\frac{4}{3}\right) $$

である。$D$ の $x$ 座標が正であるものは

$$ D=\left(\frac{7}{3},3,\frac{8}{3}\right) $$

である。よって、$[6]=\left(\dfrac{7}{3},3,\dfrac{8}{3}\right)$ である。

解説

この問題の中心は、点 $D$ の条件 $DG\perp AB,\ DG\perp AC$ を「$DG$ が平面 $ABC$ に垂直」と読み替えることである。

そのため、四面体の体積は

$$ \frac{1}{3}\times \triangle ABC\text{の面積}\times DG $$

で処理できる。$D$ の位置は、重心 $G$ から平面 $ABC$ の法線方向に距離 $2\sqrt{3}$ だけ進んだ2点であり、最後に $x$ 座標が正という条件で一方を選ぶ。

答え

$$ [1]=3 $$

$$ [2]=\frac{\pi}{6} $$

$$ [3]=\frac{\sqrt{3}}{2} $$

$$ [4]=\left(\frac{1}{3},1,\frac{2}{3}\right) $$

$$ [5]=2\sqrt{3} $$

$$ [6]=\left(\frac{7}{3},3,\frac{8}{3}\right) $$