数学C 空間ベクトル問題 79 解説

方針・初手

$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ をベクトルとして扱う。角度は内積、平面への垂線の足は「垂線方向が平面内の2つの独立な方向ベクトルと直交する」ことから求める。四面体の体積はスカラー三重積を用いる。

解法1

まず

$$ \overrightarrow{OA}=(1,2,0),\quad \overrightarrow{OB}=(1,0,1),\quad \overrightarrow{OC}=(-5,4,2) $$

とおく。

(1)

$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ のなす角を $\theta$ とすると、

$$ \cos\theta=\frac{\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|} $$

である。内積と大きさを計算すると、

$$ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} =1\cdot 1+2\cdot 0+0\cdot 1=1 $$

であり、

$$ |\overrightarrow{OA}|=\sqrt{1^2+2^2+0^2}=\sqrt5,\quad |\overrightarrow{OB}|=\sqrt{1^2+0^2+1^2}=\sqrt2 $$

である。したがって、

$$ \cos\theta=\frac{1}{\sqrt5\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt{10}} $$

である。

(2)

平面 $\alpha$ は $O,A,B$ を通るので、$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ によって張られる平面である。

点 $H$ が

$$ \overrightarrow{OH}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB} $$

を満たすとする。このとき

$$ \overrightarrow{OH} =s(1,2,0)+t(1,0,1) =(s+t,2s,t) $$

である。

また、$CH\perp \alpha$ であるから、$\overrightarrow{CH}$ は平面 $\alpha$ 内の方向ベクトル $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ の両方と直交する。ここでは

$$ \overrightarrow{CH} =\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OC} =(s+t+5,2s-4,t-2) $$

である。

よって

$$ \overrightarrow{CH}\cdot\overrightarrow{OA}=0,\quad \overrightarrow{CH}\cdot\overrightarrow{OB}=0 $$

が成り立つ。これを計算すると、

$$ (s+t+5)\cdot 1+(2s-4)\cdot 2+(t-2)\cdot 0=0 $$

より

$$ 5s+t=3 $$

である。また、

$$ (s+t+5)\cdot 1+(2s-4)\cdot 0+(t-2)\cdot 1=0 $$

より

$$ s+2t=-3 $$

である。

連立方程式

$$ \begin{cases} 5s+t=3,\\ s+2t=-3 \end{cases} $$

を解く。第2式より $s=-3-2t$ であるから、これを第1式に代入して

$$ 5(-3-2t)+t=3 $$

となる。よって

$$ -15-9t=3 $$

より

$$ t=-2 $$

である。したがって

$$ s=-3-2(-2)=1 $$

である。

(3)

四面体 $OABC$ の体積 $V$ は、

$$ V=\frac{1}{6}\left|\det(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC})\right| $$

である。

まず

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB} &= \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ 1&2&0\\ 1&0&1 \end{vmatrix} \\ &=(2,-1,-2) \end{aligned} $$

である。したがって、

$$ (\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB})\cdot\overrightarrow{OC} =(2,-1,-2)\cdot(-5,4,2) $$

であり、

$$ (2,-1,-2)\cdot(-5,4,2) =-10-4-4=-18 $$

となる。よって

$$ V=\frac{|-18|}{6}=3 $$

である。

解説

この問題では、空間ベクトルの基本処理を正確に使い分けることが重要である。

なす角は内積の公式を使う。平面への垂線の足を求める場面では、垂線が平面内の2つの独立な方向ベクトルと直交することを式にすればよい。今回は平面 $\alpha$ が $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ で張られているため、$\overrightarrow{CH}$ とそれらの内積を $0$ にすることで $s,t$ が決まる。

四面体の体積はスカラー三重積を使うと最短で求められる。$\frac{1}{6}$ を掛ける理由は、平行六面体の体積に対して四面体の体積がその $\frac{1}{6}$ だからである。