数学C 空間ベクトル 問題 78 解説

方針・初手

球面上にある条件は、与えられた座標を $x^2+y^2+z^2=4$ に代入して $t$ を決めればよい。

その後、2点 $P,Q$ の位置ベクトルを求め、内積公式

$$ \cos\theta=\frac{\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}}{|\overrightarrow{OP}|,|\overrightarrow{OQ}|} $$

を用いる。

解法1

点の座標は

$$ (\cos(\pi t^2),\sin(\pi t^2),t) $$

である。

この点が球面 $x^2+y^2+z^2=4$ 上にあるから、

$$ \cos^2(\pi t^2)+\sin^2(\pi t^2)+t^2=4 $$

となる。三角関数の恒等式より

$$ 1+t^2=4 $$

であるから、

$$ t^2=3 $$

したがって

$$ t=\pm\sqrt{3} $$

である。

$t$ の値が小さい方の点が $P$、大きい方の点が $Q$ なので、

$$ P=(-1,0,-\sqrt{3}),\qquad Q=(-1,0,\sqrt{3}) $$

となる。実際、

$$ \cos(\pi(\sqrt{3})^2)=\cos 3\pi=-1,\qquad \sin(\pi(\sqrt{3})^2)=\sin 3\pi=0 $$

であり、$t=-\sqrt{3}$ の場合も $t^2=3$ なので同じく $x=-1,\ y=0$ である。

よって、

$$ \overrightarrow{OP}=(-1,0,-\sqrt{3}),\qquad \overrightarrow{OQ}=(-1,0,\sqrt{3}) $$

である。

内積は

$$ \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ} =(-1)(-1)+0\cdot0+(-\sqrt{3})(\sqrt{3}) =1-3=-2 $$

である。

また、$P,Q$ は球面 $x^2+y^2+z^2=4$ 上にあるので、

$$ |\overrightarrow{OP}|=|\overrightarrow{OQ}|=2 $$

である。

したがって、

$$ \cos\theta =\frac{-2}{2\cdot2} =-\frac{1}{2} $$

となる。

解説

この問題では、座標に三角関数が含まれているが、球面条件に代入すると $\cos^2+\sin^2=1$ により一気に $t$ が決まる。

$t^2$ が同じであれば $\cos(\pi t^2),\sin(\pi t^2)$ も同じ値になるため、2点 $P,Q$ は $z$ 座標だけが異なる点になる。あとは空間ベクトルの内積で角度を求めればよい。

答え

$$ \boxed{-\frac{1}{2}} $$