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数学C 空間ベクトル問題 81 解説

方針・初手

点 $H$ は点 $C$ から平面 $OAB$ に下ろした垂線の足であるから、$\overrightarrow{OH}$ は平面 $OAB$ 上のベクトルである。

したがって

$$ \overrightarrow{OH}=x\vec a+y\vec b $$

とおき、$\overrightarrow{CH}$ が平面 $OAB$ に垂直であることから、$\vec a,\vec b$ との内積がともに $0$ になる条件を立てる。

解法1

$\overrightarrow{OH}=\vec h$ とおく。$\vec h$ は平面 $OAB$ 上にあるので、実数 $x,y$ を用いて

$$ \vec h=x\vec a+y\vec b $$

と表せる。

与えられた条件より、

$$ |\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=1 $$

であり、

$$ \vec a\cdot \vec b=\cos 60^\circ=\frac12 $$

また、

$$ \vec b\cdot \vec c=\cos 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2},\qquad \vec c\cdot \vec a=\cos 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2} $$

である。

$CH$ は平面 $OAB$ に垂直であるから、$\overrightarrow{CH}=\vec h-\vec c$ は $\vec a,\vec b$ の両方に垂直である。よって

$$ (\vec h-\vec c)\cdot \vec a=0,\qquad (\vec h-\vec c)\cdot \vec b=0 $$

が成り立つ。

$\vec h=x\vec a+y\vec b$ を代入すると、

$$ (x\vec a+y\vec b-\vec c)\cdot \vec a=0 $$

より

$$ x+\frac12 y-\frac{\sqrt2}{2}=0 $$

すなわち

$$ x+\frac12 y=\frac{\sqrt2}{2} $$

である。

同様に、

$$ (x\vec a+y\vec b-\vec c)\cdot \vec b=0 $$

より

$$ \frac12 x+y=\frac{\sqrt2}{2} $$

である。

したがって、連立方程式

$$ \begin{aligned} x+\frac12 y&=\frac{\sqrt2}{2},\\ \frac12 x+y&=\frac{\sqrt2}{2} \end{aligned} $$

を解けばよい。2式を引くと

$$ \frac12 x-\frac12 y=0 $$

より $x=y$ である。これを

$$ x+\frac12 y=\frac{\sqrt2}{2} $$

に代入して、

$$ \frac32 x=\frac{\sqrt2}{2} $$

より

$$ x=\frac{\sqrt2}{3} $$

である。したがって

$$ y=\frac{\sqrt2}{3} $$

であり、

$$ \overrightarrow{OH}=\frac{\sqrt2}{3}(\vec a+\vec b) $$

となる。

次に $CH$ の長さを求める。$\overrightarrow{OH}$ と $\overrightarrow{CH}$ は垂直であり、

$$ \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{HC} $$

であるから、直角三角形 $OHC$ において

$$ OC^2=OH^2+CH^2 $$

が成り立つ。

ここで

$$ \overrightarrow{OH}=\frac{\sqrt2}{3}(\vec a+\vec b) $$

より、

$$ OH^2=\left|\frac{\sqrt2}{3}(\vec a+\vec b)\right|^2 $$

である。また、

だから、

$$ OH^2=\frac{2}{9}\cdot 3=\frac23 $$

となる。

$OC=1$ より、

$$ CH^2=OC^2-OH^2 =1-\frac23 =\frac13 $$

したがって

$$ CH=\frac{1}{\sqrt3} $$

である。

最後に四面体 $OABC$ の体積を求める。底面を三角形 $OAB$ とすると、その面積は

$$ \begin{aligned} \frac12\cdot OA\cdot OB\cdot \sin \angle AOB &= \frac12\cdot 1\cdot 1\cdot \sin 60^\circ\\ &= \frac{\sqrt3}{4} \end{aligned} $$

である。

高さは $CH=\frac{1}{\sqrt3}$ だから、四面体の体積 $V$ は

$$ V=\frac13\cdot \frac{\sqrt3}{4}\cdot \frac{1}{\sqrt3} =\frac{1}{12} $$

である。

解説

この問題の中心は、垂線の足 $H$ を「平面 $OAB$ への正射影」として扱うことである。

$\overrightarrow{OH}$ は平面 $OAB$ 上にあるため、$\vec a,\vec b$ の一次結合で表せる。一方で、$\overrightarrow{CH}$ は平面 $OAB$ に垂直なので、平面上の方向ベクトルである $\vec a,\vec b$ の両方と直交する。この2条件から係数 $x,y$ が決まる。

$CH$ は直接求めるよりも、直角三角形 $OHC$ に着目して

$$ CH^2=OC^2-OH^2 $$

を使うのが自然である。体積は、底面を三角形 $OAB$、高さを $CH$ とすればよい。