数学C 空間ベクトル 問題 82 解説

方針・初手

求めるベクトルを $\vec{x}=(x,y,z)$ とおき、$\vec{x}$ が $\vec{a},\vec{b}$ の両方に垂直であることを内積で表す。さらに大きさが $1$ である条件を加えればよい。

解法1

求めるベクトルを

$$ \vec{x}=(x,y,z) $$

とおく。

$\vec{x}$ が $\vec{a}=(2,3,2)$ に垂直であるから、

$$ \vec{x}\cdot \vec{a}=0 $$

より

$$ 2x+3y+2z=0 $$

である。

また、$\vec{x}$ が $\vec{b}=(1,0,-2)$ に垂直であるから、

$$ \vec{x}\cdot \vec{b}=0 $$

より

$$ x-2z=0 $$

である。したがって

$$ x=2z $$

である。

これを $2x+3y+2z=0$ に代入すると、

$$ 2(2z)+3y+2z=0 $$

すなわち

$$ 6z+3y=0 $$

より

$$ y=-2z $$

となる。

よって、$\vec{x}$ は

$$ \vec{x}=(2z,-2z,z)=z(2,-2,1) $$

と表される。

さらに、$\vec{x}$ の大きさが $1$ であるから、

$$ |\vec{x}|=|z|\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}=3|z|=1 $$

である。したがって

$$ |z|=\frac{1}{3} $$

より、

$$ z=\pm \frac{1}{3} $$

である。

ゆえに、求めるベクトルは

$$ \left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right),\quad \left(-\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right) $$

である。

解説

2つのベクトルに垂直なベクトルは、2つの内積条件から方向が決まる。今回は $\vec{x}=z(2,-2,1)$ と表されるので、あとは大きさが $1$ になるように定数倍を調整すればよい。

垂直条件だけでは向きが反対の2つが残るため、単位ベクトルは必ず正負の2個になる。

答え

$$ [ト]=\left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right),\quad [チ]=\left(-\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right) $$

ただし、$[ト]$ と $[チ]$ は逆でもよい。