数学C 空間ベクトル 問題 83 解説

方針・初手

点 $P,Q$ は、それぞれ重みつき平均で表される点である。まず位置ベクトルを用いて $P,Q$ の位置を求める。

面積比は、$\overrightarrow{AP}$ を $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ で表したあと、外積の大きさに相当する係数で比較する。体積比は、$Q$ の四面体 $ABCD$ における重心座標を用いて比較する。

解法1

位置ベクトルをそれぞれ

$$ \overrightarrow{OA}=\mathbf{a},\quad \overrightarrow{OB}=\mathbf{b},\quad \overrightarrow{OC}=\mathbf{c},\quad \overrightarrow{OD}=\mathbf{d} $$

とおく。

まず $P$ について、

$$ 4\overrightarrow{PA}+5\overrightarrow{PB}+6\overrightarrow{PC}=\mathbf{0} $$

より、

$$ 4(\mathbf{a}-\mathbf{p})+5(\mathbf{b}-\mathbf{p})+6(\mathbf{c}-\mathbf{p})=\mathbf{0} $$

である。したがって

$$ 15\mathbf{p}=4\mathbf{a}+5\mathbf{b}+6\mathbf{c} $$

となるから、

$$ \mathbf{p}=\frac{4\mathbf{a}+5\mathbf{b}+6\mathbf{c}}{15} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AP} &=\mathbf{p}-\mathbf{a} \\ &=\frac{4\mathbf{a}+5\mathbf{b}+6\mathbf{c}}{15}-\mathbf{a} \\ &=\frac{5(\mathbf{b}-\mathbf{a})+6(\mathbf{c}-\mathbf{a})}{15} \\ &=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC} \end{aligned} $$

となる。

次に、三角形 $PAB$ と三角形 $PBC$ の面積比を求める。

$$ \overrightarrow{AB}=\mathbf{u},\quad \overrightarrow{AC}=\mathbf{v} $$

とおくと、

$$ \overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\mathbf{u}+\frac{2}{5}\mathbf{v} $$

である。

三角形 $PAB$ の面積は

$$ \begin{aligned} [ PAB ] &=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AP}\times\overrightarrow{AB}\right| \\ &=\frac{1}{2}\left|\left(\frac{1}{3}\mathbf{u}+\frac{2}{5}\mathbf{v}\right)\times \mathbf{u}\right| \\ &=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5}\left|\mathbf{v}\times\mathbf{u}\right| \\ &=\frac{2}{5}[ABC] \end{aligned} $$

である。

また、

$$ \overrightarrow{BP} =\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB} =-\frac{2}{3}\mathbf{u}+\frac{2}{5}\mathbf{v} $$

かつ

$$ \overrightarrow{BC}=\mathbf{v}-\mathbf{u} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} [ PBC ] &=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{BP}\times\overrightarrow{BC}\right| \\ &=\frac{1}{2}\left|\left(-\frac{2}{3}\mathbf{u}+\frac{2}{5}\mathbf{v}\right)\times(\mathbf{v}-\mathbf{u})\right| \end{aligned} $$

ここで、$\mathbf{u},\mathbf{v}$ の係数の行列式を見ると、

$$ \left| \begin{vmatrix} -\frac{2}{3} & \frac{2}{5}\\ -1 & 1 \end{vmatrix} \right| = \left|-\frac{2}{3}+\frac{2}{5}\right| \frac{4}{15} $$

である。したがって

$$ [ PBC ]=\frac{4}{15}[ABC] $$

となる。よって

$$ \begin{aligned} [ PAB ]:[ PBC ] &= \frac{2}{5}:\frac{4}{15}\\ &= 3:2 \end{aligned} $$

である。

最後に、$Q$ について調べる。

$$ 4\overrightarrow{QA}+5\overrightarrow{QB}+6\overrightarrow{QC}+7\overrightarrow{QD}=\mathbf{0} $$

より、

$$ 4(\mathbf{a}-\mathbf{q})+5(\mathbf{b}-\mathbf{q})+6(\mathbf{c}-\mathbf{q})+7(\mathbf{d}-\mathbf{q})=\mathbf{0} $$

である。したがって

$$ 22\mathbf{q}=4\mathbf{a}+5\mathbf{b}+6\mathbf{c}+7\mathbf{d} $$

となるから、

$$ \mathbf{q} = \frac{4\mathbf{a}+5\mathbf{b}+6\mathbf{c}+7\mathbf{d}}{22} $$

である。

これは、点 $Q$ が四面体 $ABCD$ において

$$ A:B:C:D=4:5:6:7 $$

の重みをもつ点であることを表す。

四面体 $QABC$ は、四面体 $ABCD$ と底面 $ABC$ を共有する。高さは、$D$ から平面 $ABC$ への高さの $\frac{7}{22}$ 倍であるから、

$$ \frac{V_{QABC}}{V_{ABCD}}=\frac{7}{22} $$

である。

同様に、四面体 $QBCD$ は、四面体 $ABCD$ と底面 $BCD$ を共有する。高さは、$A$ から平面 $BCD$ への高さの $\frac{4}{22}$ 倍であるから、

$$ \frac{V_{QBCD}}{V_{ABCD}}=\frac{4}{22} $$

である。

よって

$$ \begin{aligned} V_{QABC}:V_{QBCD} &= \frac{7}{22}:\frac{4}{22}\\ &= 7:4 \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、ベクトル方程式

$$ m_1\overrightarrow{XA_1}+m_2\overrightarrow{XA_2}+\cdots+m_n\overrightarrow{XA_n}=\mathbf{0} $$

から、点 $X$ が各点 $A_i$ の重みつき平均として表されることを使う。

点 $P$ は三角形 $ABC$ 内の重みつき平均であり、点 $Q$ は四面体 $ABCD$ 内の重みつき平均である。特に、四面体の体積比では、頂点に対応する重みが、その頂点の反対側の面を底面とする小四面体の体積に対応する。

したがって、$QABC$ は頂点 $D$ に対応する重み $7$、$QBCD$ は頂点 $A$ に対応する重み $4$ を見るのが最短である。

答え

(1)

$$ \overrightarrow{AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow{AC} $$

(2)

$$ [ PAB ]:[ PBC ]=3:2 $$

(3)

$$ V_{QABC}:V_{QBCD}=7:4 $$