数学C 空間ベクトル 問題 86 解説

方針・初手

$\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$ をそれぞれ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ とおく。

まず余弦定理を内積の形で用いて、$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ の相互の内積を求める。次に、垂線の足は「平面上にあり、差ベクトルが平面内のすべての方向ベクトルと垂直である」ことを使って表す。

解法1

$\vec{a}=\overrightarrow{OA}, \vec{b}=\overrightarrow{OB}, \vec{c}=\overrightarrow{OC}$ とおく。与えられた長さより

$$ |\vec{a}|=2,\quad |\vec{b}|=3,\quad |\vec{c}|=3 $$

であり、また

$$ |\vec{a}-\vec{b}|=AB=3,\quad |\vec{b}-\vec{c}|=BC=2,\quad |\vec{c}-\vec{a}|=CA=3 $$

である。

まず、

$$ |\vec{a}-\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b} $$

より

$$ 9=4+9-2\vec{a}\cdot\vec{b} $$

だから

$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=2 $$

である。同様に、

$$ |\vec{b}-\vec{c}|^2 = |\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2-2\vec{b}\cdot\vec{c} $$

より

$$ 4=9+9-2\vec{b}\cdot\vec{c} $$

だから

$$ \vec{b}\cdot\vec{c}=7 $$

である。また、

$$ |\vec{c}-\vec{a}|^2 = |\vec{c}|^2+|\vec{a}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{c} $$

より

$$ 9=9+4-2\vec{a}\cdot\vec{c} $$

だから

$$ \vec{a}\cdot\vec{c}=2 $$

である。

次に、平面 $\alpha$ は点 $O,A,C$ を通るので、平面 $\alpha$ 上の点 $P$ について

$$ \overrightarrow{OP}=x\vec{a}+y\vec{c} $$

とおける。直線 $g$ は平面 $\alpha$ に垂直だから、$\overrightarrow{BP}$ は平面 $\alpha$ に垂直である。したがって

$$ (\vec{b}-\overrightarrow{OP})\cdot\vec{a}=0,\quad (\vec{b}-\overrightarrow{OP})\cdot\vec{c}=0 $$

が成り立つ。

これに $\overrightarrow{OP}=x\vec{a}+y\vec{c}$ を代入すると、

$$ \begin{cases} \vec{b}\cdot\vec{a}=x|\vec{a}|^2+y\vec{c}\cdot\vec{a} \\ \vec{b}\cdot\vec{c}=x\vec{a}\cdot\vec{c}+y|\vec{c}|^2 \end{cases} $$

である。内積の値を代入して

$$ \begin{cases} 2=4x+2y \\ 7=2x+9y \end{cases} $$

を得る。これを解くと

$$ x=\frac{1}{8},\quad y=\frac{3}{4} $$

である。よって

$$ \overrightarrow{OP} = \frac{1}{8}\vec{a}+\frac{3}{4}\vec{c} $$

である。

同様に、平面 $\beta$ は点 $O,A,B$ を通るので、平面 $\beta$ 上の点 $Q$ について

$$ \overrightarrow{OQ}=u\vec{a}+v\vec{b} $$

とおける。直線 $h$ は平面 $\beta$ に垂直だから、$\overrightarrow{CQ}$ は平面 $\beta$ に垂直である。したがって

$$ (\vec{c}-\overrightarrow{OQ})\cdot\vec{a}=0,\quad (\vec{c}-\overrightarrow{OQ})\cdot\vec{b}=0 $$

が成り立つ。

これに $\overrightarrow{OQ}=u\vec{a}+v\vec{b}$ を代入すると、

$$ \begin{cases} \vec{c}\cdot\vec{a}=u|\vec{a}|^2+v\vec{b}\cdot\vec{a} \\ \vec{c}\cdot\vec{b}=u\vec{a}\cdot\vec{b}+v|\vec{b}|^2 \end{cases} $$

である。内積の値を代入して

$$ \begin{cases} 2=4u+2v \\ 7=2u+9v \end{cases} $$

を得る。これを解くと

$$ u=\frac{1}{8},\quad v=\frac{3}{4} $$

である。よって

$$ \overrightarrow{OQ} = \frac{1}{8}\vec{a}+\frac{3}{4}\vec{b} $$

である。

最後に、直線 $g$ は点 $B$ と点 $P$ を通るから、直線 $g$ 上の点の位置ベクトルは実数 $s$ を用いて

$$ \vec{b}+s(\overrightarrow{OP}-\vec{b}) $$

と表せる。また、直線 $h$ は点 $C$ と点 $Q$ を通るから、直線 $h$ 上の点の位置ベクトルは実数 $t$ を用いて

$$ \vec{c}+t(\overrightarrow{OQ}-\vec{c}) $$

と表せる。

ここで

$$ \overrightarrow{OP} = \frac{1}{8}\vec{a}+\frac{3}{4}\vec{c}, \quad \overrightarrow{OQ} = \frac{1}{8}\vec{a}+\frac{3}{4}\vec{b} $$

であるから、

$$ \vec{b}+s(\overrightarrow{OP}-\vec{b}) = \frac{s}{8}\vec{a}+(1-s)\vec{b}+\frac{3s}{4}\vec{c} $$

であり、

$$ \vec{c}+t(\overrightarrow{OQ}-\vec{c}) = \frac{t}{8}\vec{a}+\frac{3t}{4}\vec{b}+(1-t)\vec{c} $$

である。

四面体 $OABC$ において $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ は一次独立である。したがって両者が等しいためには、各係数が等しければよい。すなわち

$$ \frac{s}{8}=\frac{t}{8},\quad 1-s=\frac{3t}{4},\quad \frac{3s}{4}=1-t $$

を満たせばよい。

第1式より $s=t$ である。これを第2式に代入すると

$$ 1-s=\frac{3s}{4} $$

だから

$$ s=\frac{4}{7} $$

である。このとき第3式も

$$ \frac{3s}{4}=1-s $$

となり満たされる。よって直線 $g$ と直線 $h$ は交わる。

交点を $R$ とすると、$s=\frac{4}{7}$ を直線 $g$ の式に代入して

$$ \overrightarrow{OR} = \frac{1}{14}\vec{a} +\frac{3}{7}\vec{b} +\frac{3}{7}\vec{c} $$

を得る。

したがって

$$ \overrightarrow{OR} = \frac{1}{14}\overrightarrow{OA} +\frac{3}{7}\overrightarrow{OB} +\frac{3}{7}\overrightarrow{OC} $$

である。

解説

この問題の中心は、垂線の足をベクトルで表す処理である。

点 $P$ は平面 $\alpha$ 上にあるため、$\overrightarrow{OP}$ は $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OC}$ の一次結合で表せる。また、$BP$ が平面 $\alpha$ に垂直であることから、$\overrightarrow{BP}$ は平面内の2方向 $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}$ の両方と垂直になる。これにより連立方程式が立つ。

点 $Q$ についても同様である。最後は、2本の直線をパラメータ表示し、$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ の係数比較によって交点の存在と位置ベクトルを同時に求める。

答え

(1)

$$ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=2,\quad \overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=7,\quad \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}=2 $$

(2)

$$ \overrightarrow{OP} = \frac{1}{8}\overrightarrow{OA} +\frac{3}{4}\overrightarrow{OC} $$

$$ \overrightarrow{OQ} = \frac{1}{8}\overrightarrow{OA} +\frac{3}{4}\overrightarrow{OB} $$

(3)

直線 $g$ と直線 $h$ は交わる。その交点を $R$ とすると、

$$ \overrightarrow{OR} = \frac{1}{14}\overrightarrow{OA} +\frac{3}{7}\overrightarrow{OB} +\frac{3}{7}\overrightarrow{OC} $$