数学C 空間ベクトル問題 87 解説

方針・初手

点 $P,Q,R$ の位置ベクトルを $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ で表す。点 $S$ は平面 $PQR$ 上にあるので、$\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ},\overrightarrow{OR}$ のアフィン結合で表し、さらに $S$ が線分 $AC$ 上にあることから $\overrightarrow{OB}$ の係数が $0$ になることを利用する。

解法1

$P$ は $OA$ を $2:1$ に内分するから、

$$ \overrightarrow{OP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OA} $$

である。また、$Q$ は $OB$ を $3:1$ に内分するから、

$$ \overrightarrow{OQ}=\frac{3}{4}\overrightarrow{OB} $$

である。

次に、$R$ は $BC$ を $4:1$ に内分する点である。すなわち $BR:RC=4:1$ であるから、内分点の公式より

$$ \overrightarrow{OR} = \frac{1\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}}{5} $$

である。したがって、

$$ \text{ス}=1,\quad \text{セ}=4,\quad \text{ソ}=5 $$

である。

点 $S$ は $P,Q,R$ を通る平面上にあるので、ある実数 $s,t,u$ を用いて

$$ \overrightarrow{OS} = s\overrightarrow{OP} + t\overrightarrow{OQ} + u\overrightarrow{OR}, \qquad s+t+u=1 $$

と表せる。

これに $P,Q,R$ の位置ベクトルを代入すると、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OS} &= s\cdot \frac{2}{3}\overrightarrow{OA} + t\cdot \frac{3}{4}\overrightarrow{OB} + u\cdot \frac{\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}}{5} \\ &= \frac{2s}{3}\overrightarrow{OA} + \left(\frac{3t}{4}+\frac{u}{5}\right)\overrightarrow{OB} + \frac{4u}{5}\overrightarrow{OC} \end{aligned} $$

である。

ここで、

$$ \overrightarrow{OS} = s'\overrightarrow{OA} + t'\overrightarrow{OB} + u'\overrightarrow{OC} $$

とおくと、

$$ s'=\frac{2s}{3},\qquad t'=\frac{3t}{4}+\frac{u}{5},\qquad u'=\frac{4u}{5} $$

である。

これらを $s,t,u$ について解く。まず、

$$ s=\frac{3}{2}s',\qquad u=\frac{5}{4}u' $$

である。また、

$$ t'=\frac{3t}{4}+\frac{u}{5} $$

に $u=\frac{5}{4}u'$ を代入すると、

$$ t' = \frac{3t}{4} + \frac{1}{4}u' $$

より、

$$ \begin{aligned} t = \\ \frac{4}{3}t' \\ \frac{1}{3}u' \end{aligned} $$

である。

したがって、$s+t+u=1$ より

$$ \frac{3}{2}s' + \left(\frac{4}{3}t'-\frac{1}{3}u'\right) + \frac{5}{4}u' = 1 $$

となる。整理すると、

$$ \frac{3}{2}s' + \frac{4}{3}t' + \frac{11}{12}u' = 1 $$

である。両辺に $12$ をかけて、

$$ 18s'+16t'+11u'=12 $$

を得る。よって、

$$ \text{タ}=12 $$

である。

ここで、点 $S$ は線分 $AC$ 上にある。したがって $\overrightarrow{OS}$ は $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OC}$ のみで表され、$\overrightarrow{OB}$ の係数は $0$ であるから、

$$ t'=0 $$

である。

さらに、$S$ が線分 $AC$ 上にあるので、ある実数 $\lambda$ を用いて

$$ \overrightarrow{OS} = (1-\lambda)\overrightarrow{OA} + \lambda\overrightarrow{OC} $$

と表せる。したがって、

$$ s'+u'=1 $$

である。

以上より、$t'=0$ を

$$ 18s'+16t'+11u'=12 $$

に代入して、

$$ 18s'+11u'=12 $$

を得る。また $s'+u'=1$ であるから、$u'=1-s'$ として代入すると、

$$ 18s'+11(1-s')=12 $$

すなわち

$$ 7s'=1 $$

より、

$$ s'=\frac{1}{7},\qquad u'=\frac{6}{7} $$

である。

線分 $AC$ 上の点 $S$ について、

$$ \overrightarrow{OS} = \frac{SC}{AC}\overrightarrow{OA} + \frac{AS}{AC}\overrightarrow{OC} $$

であるから、

$$ s'=\frac{SC}{AC},\qquad u'=\frac{AS}{AC} $$

である。よって、

$$ AS:SC=u':s'=\frac{6}{7}:\frac{1}{7}=6:1 $$

となる。

解説

この問題の中心は、平面上の点をアフィン結合で表すことである。点 $S$ が平面 $PQR$ 上にあることから、係数の和が $1$ である形

$$ \overrightarrow{OS} = s\overrightarrow{OP} + t\overrightarrow{OQ} + u\overrightarrow{OR} $$

を使う。

その後、$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ の係数に変換する。四面体なので、$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ は一次独立であり、係数比較ができる。

最後に、$S$ が線分 $AC$ 上にあることから、$\overrightarrow{OB}$ の係数が $0$ になる点が重要である。また、$AC$ 上の内分比は $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OC}$ の係数が逆向きに対応し、

$$ AS:SC=u':s' $$

となる。