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数学C 空間ベクトル問題 90 解説

方針・初手

点 $O$ が原点であるから、各点の位置ベクトルをそのまま座標ベクトルとして扱える。まず平面 $OAB$ の法線ベクトルを求め、点 $C$ をその平面に関して対称移動して点 $D$ を求める。

四面体の体積はスカラー三重積、点と平面の距離は平面 $ABC$ の方程式から求める。

解法1

$A(1,-1,0), B(1,1,4), C(4,3,5)$ とする。

まず、平面 $OAB$ の法線ベクトルを求める。

$$ \overrightarrow{OA}=(1,-1,0),\quad \overrightarrow{OB}=(1,1,4) $$

より、

$$ \overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB} = \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ 1&-1&0\\ 1&1&4 \end{vmatrix} =(-4,-4,2) $$

である。したがって、法線ベクトルとして

$$ \mathbf{n}=(-2,-2,1) $$

をとれる。平面 $OAB$ は原点を通るので、その方程式は

$$ -2x-2y+z=0 $$

である。

(1)

点 $C(4,3,5)$ に対して、

$$ \mathbf{n}\cdot \overrightarrow{OC} = (-2,-2,1)\cdot (4,3,5) -8-6+5 -9 $$

また、

$$ |\mathbf{n}|^2=(-2)^2+(-2)^2+1^2=9 $$

である。平面が原点を通るとき、点 $C$ の平面に関する対称点 $D$ は

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OC} \\ 2\frac{\mathbf{n}\cdot \overrightarrow{OC}}{|\mathbf{n}|^2}\mathbf{n} \end{aligned} $$

で与えられる。よって、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OD} &=(4,3,5)-2\cdot \frac{-9}{9}(-2,-2,1)\\ &=(4,3,5)+2(-2,-2,1)\\ &=(0,-1,7) \end{aligned} $$

したがって、

$$ \overrightarrow{OD}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}+u\overrightarrow{OC} $$

とおくと、

$$ (0,-1,7) = s(1,-1,0)+t(1,1,4)+u(4,3,5) $$

である。成分を比較すると、

$$ \begin{cases} s+t+4u=0\\ -s+t+3u=-1\\ 4t+5u=7 \end{cases} $$

第1式と第2式を足して、

$$ 2t+7u=-1 $$

また第3式より、

$$ 4t+5u=7 $$

である。この2式を解く。

$$ \begin{aligned} 2t+7u&=-1\\ 4t+5u&=7 \end{aligned} $$

第1式を2倍すると、

$$ 4t+14u=-2 $$

これと $4t+5u=7$ を引き比べて、

$$ 9u=-9 $$

より、

$$ u=-1 $$

したがって、

$$ 4t+5(-1)=7 $$

より、

$$ t=3 $$

さらに、

$$ s+3+4(-1)=0 $$

より、

$$ s=1 $$

よって、

$$ s=1,\quad t=3,\quad u=-1 $$

である。

(2)

四面体 $OABC$ の体積 $V$ は、

$$ V=\frac{1}{6}\left| \det(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}) \right| $$

である。

すでに

$$ \overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}=(-4,-4,2) $$

と求めているので、

$$ \begin{aligned} \det(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}) &=(\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB})\cdot \overrightarrow{OC}\\ &=(-4,-4,2)\cdot (4,3,5)\\ &=-16-12+10\\ &=-18 \end{aligned} $$

したがって、

$$ V=\frac{|-18|}{6}=3 $$

である。

(3)

平面 $ABC$ の方程式を求める。

$$ \overrightarrow{AB}=B-A=(0,2,4),\quad \overrightarrow{AC}=C-A=(3,4,5) $$

より、平面 $ABC$ の法線ベクトルは

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} &= \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ 0&2&4\\ 3&4&5 \end{vmatrix}\\ &=(-6,12,-6) \end{aligned} $$

である。よって、法線ベクトルとして

$$ (1,-2,1) $$

をとれる。

平面 $ABC$ は点 $A(1,-1,0)$ を通るので、

$$ (1,-2,1)\cdot {(x,y,z)-(1,-1,0)}=0 $$

すなわち、

$$ x-2y+z-3=0 $$

である。

点 $O(0,0,0)$ と平面 $x-2y+z-3=0$ の距離は、

$$ \begin{aligned} \frac{|0-0+0-3|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}} &= \frac{3}{\sqrt{6}}\\ &= \frac{\sqrt{6}}{2} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、点の対称移動を座標で直接扱うために、平面の法線ベクトルを使うのが最も自然である。

平面 $OAB$ は原点を通るため、対称点の公式が

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OC} \\ 2\frac{\mathbf{n}\cdot \overrightarrow{OC}}{|\mathbf{n}|^2}\mathbf{n} \end{aligned} $$

の形で簡潔に使える。ここで $\mathbf{n}\cdot \overrightarrow{OC}$ は、点 $C$ が平面から法線方向にどれだけずれているかを表している。

また、四面体の体積はスカラー三重積で一気に求められる。点と平面の距離では、まず平面 $ABC$ の方程式を正確に出すことが重要である。