数学C 空間ベクトル 問題 91 解説

方針・初手

正十二面体の各面は正五角形であり、各頂点では3つの正五角形が集まる。したがって、点 $O$ から出る3本の辺 $\vec a,\vec b,\vec c$ の任意の2本は、同じ正五角形の隣り合う2辺である。

まず正五角形の対角線の長さを求め、それを用いて内積を決める。その後、正五角形の連続する辺のベクトル関係を使って、$\overrightarrow{CD}$ や $\overrightarrow{OF}$ を順に表す。

解法1

正五角形の1辺を $1$、対角線の長さを $\varphi$ とする。正五角形内の相似関係より

$$ \varphi^2=\varphi+1 $$

であるから、

$$ \varphi=\frac{1+\sqrt5}{2} $$

である。

点 $A,O,B$ は同じ正五角形の連続する3頂点なので、$AB$ はその正五角形の対角線である。したがって

$$ |\vec b-\vec a|=\varphi $$

である。よって

$$ |\vec b-\vec a|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2-2\vec a\cdot \vec b $$

より、

$$ \varphi^2=2-2\vec a\cdot \vec b $$

となる。したがって

$$ \vec a\cdot \vec b =\frac{2-\varphi^2}{2} =\frac{1-\sqrt5}{4} $$

である。

同様に、$\vec a,\vec b,\vec c$ の任意の2つは、正五角形の隣り合う2辺をなすので、以後

$$ \vec a\cdot \vec b=\vec b\cdot \vec c=\vec c\cdot \vec a =\frac{1-\sqrt5}{4} $$

を用いる。

ここで

$$ q=\varphi-1=\frac{\sqrt5-1}{2} $$

とおく。

まず $\overrightarrow{CD}$ を求める。点 $A,O,C,D$ は同じ正五角形上にこの順で並んでいるので、$\overrightarrow{CD}$ は $\vec a,\vec c$ の一次結合で表せる。そこで

$$ \overrightarrow{CD}=x\vec a+y\vec c $$

とおく。

また、点 $C$ における2辺 $\overrightarrow{CO}=-\vec c$ と $\overrightarrow{CD}$ のなす角は正五角形の内角であるから、

$$ (-\vec c)\cdot \overrightarrow{CD} =\frac{1-\sqrt5}{4} $$

すなわち

$$ \vec c\cdot \overrightarrow{CD} =\frac{\sqrt5-1}{4} $$

である。$\overrightarrow{CD}=x\vec a+y\vec c$ を代入すると

$$ x\frac{1-\sqrt5}{4}+y=\frac{\sqrt5-1}{4} $$

である。また $CD=1$ より

$$ x^2+y^2+2xy\frac{1-\sqrt5}{4}=1 $$

である。これを解き、正五角形の並び $A,O,C,D$ に合う解を選ぶと

$$ x=1,\qquad y=\frac{\sqrt5-1}{2}=q $$

となる。よって

$$ \overrightarrow{CD}=\vec a+q\vec c $$

である。

次に $\overrightarrow{OF}$ を求める。$G$ を、点 $B,O,C$ を含む正五角形において $C$ に隣接し、$O$ でない頂点とする。同じ考え方により

$$ \overrightarrow{CG}=\vec b+q\vec c $$

である。

ここで

$$ \vec u=\overrightarrow{CD}=\vec a+q\vec c,\qquad \vec v=\overrightarrow{CG}=\vec b+q\vec c $$

とおく。

辺 $CD$ を共有するもう一方の正五角形では、頂点は $D,C,G,\ldots,F$ の順に並ぶ。したがって、その正五角形の連続する辺ベクトルを

$$ \vec e_1=\overrightarrow{DC}=-\vec u,\qquad \vec e_2=\overrightarrow{CG}=\vec v $$

とおくことができる。

正五角形の連続する3辺のベクトルについて、前と同じ関係から

$$ \vec e_{i+2}=-\vec e_i+q\vec e_{i+1} $$

が成り立つ。よって

$$ \begin{aligned} \vec e_3&=-\vec e_1+q\vec e_2 =\vec u+q\vec v,\\ \vec e_4&=-\vec e_2+q\vec e_3 =q\vec u-q\vec v,\\ \vec e_5&=-\vec e_3+q\vec e_4 =-q\vec u-\vec v. \end{aligned} $$

この $\vec e_5$ は $\overrightarrow{FD}$ であるから、

$$ \overrightarrow{DF}=q\vec u+\vec v $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{DF} &=q(\vec a+q\vec c)+(\vec b+q\vec c)\\ &=q\vec a+\vec b+(q^2+q)\vec c. \end{aligned} $$

ここで $q^2+q=1$ なので、

$$ \overrightarrow{DF}=q\vec a+\vec b+\vec c $$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OF} &=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DF}\\ &=\vec c+(\vec a+q\vec c)+(q\vec a+\vec b+\vec c)\\ &=(1+q)\vec a+\vec b+(2+q)\vec c. \end{aligned} $$

$1+q=\varphi$、$2+q=\varphi^2$ より、

$$ \overrightarrow{OF}=\varphi\vec a+\vec b+\varphi^2\vec c $$

である。

次に、$O$ から平面 $ABD$ に下ろした垂線の足を $H$ とする。

先ほど求めた

$$ \overrightarrow{CD}=\vec a+q\vec c $$

より、

$$ \overrightarrow{OD} =\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CD} =\vec c+\vec a+q\vec c =\vec a+\varphi\vec c $$

である。したがって

$$ \overrightarrow{AD}=\varphi\vec c,\qquad \overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a $$

である。

$\overrightarrow{OH}$ を

$$ \overrightarrow{OH}=x\vec a+y\vec b+z\vec c $$

とおく。点 $H$ は平面 $ABD$ 上にあるので、

$$ x+y=1 $$

が成り立つ。

また、$OH$ は平面 $ABD$ に垂直だから、

$$ \overrightarrow{OH}\cdot(\vec b-\vec a)=0,\qquad \overrightarrow{OH}\cdot \vec c=0 $$

である。

まず

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OH}\cdot(\vec b-\vec a) &=(x\vec a+y\vec b+z\vec c)\cdot(\vec b-\vec a)\\ &=(1-\vec a\cdot\vec b)(y-x) \end{aligned} $$

であるから、

$$ x=y $$

である。これと $x+y=1$ より

$$ x=y=\frac12 $$

である。

さらに

$$ \overrightarrow{OH}\cdot\vec c=0 $$

より、

$$ \frac12\vec a\cdot\vec c+\frac12\vec b\cdot\vec c+z=0 $$

である。したがって

$$ z=-\frac{1-\sqrt5}{4} =\frac{\sqrt5-1}{4} $$

となる。

よって

$$ \overrightarrow{OH} =\frac12\vec a+\frac12\vec b+\frac{\sqrt5-1}{4}\vec c $$

である。

最後に長さを求める。$q=\dfrac{\sqrt5-1}{2}$ とすると、

$$ \overrightarrow{OH} =\frac12(\vec a+\vec b)+\frac q2\vec c $$

である。また

$$ \vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec c=\vec c\cdot\vec a=-\frac q2 $$

であるから、

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{OH}|^2 &=\left|\frac12(\vec a+\vec b)+\frac q2\vec c\right|^2\\ &=\frac14|\vec a+\vec b|^2+\frac q2(\vec a+\vec b)\cdot\vec c+\frac{q^2}{4}\\ &=\frac14(2-q)+\frac q2(-q)+\frac{q^2}{4}\\ &=\frac12-\frac q4-\frac{q^2}{4}\\ &=\frac12-\frac{q+q^2}{4}. \end{aligned} $$

$q^2+q=1$ より、

$$ |\overrightarrow{OH}|^2=\frac14 $$

である。したがって

$$ |\overrightarrow{OH}|=\frac12 $$

である。

解説

この問題の中心は、正十二面体そのものを座標で直接扱うのではなく、各面が正五角形であることを利用して、辺ベクトルを順に伝播させる点にある。

正五角形の対角線の長さは黄金比 $\varphi=\dfrac{1+\sqrt5}{2}$ であり、これにより点 $O$ から出る3本の辺ベクトルの内積が決まる。そこから先は、隣り合う正五角形に対して同じベクトル関係を繰り返すだけで、$\overrightarrow{CD}$ や $\overrightarrow{OF}$ が求まる。

垂線の足 $H$ については、平面 $ABD$ 上にある条件と、平面内の2方向 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$ に垂直である条件を連立するのが最も整理しやすい。

答え

(1)

正五角形の対角線の長さは

$$ \frac{1+\sqrt5}{2} $$

であり、

$$ \vec a\cdot\vec b=\frac{1-\sqrt5}{4} $$

である。

(2)

$$ \overrightarrow{CD} = \vec a+\frac{\sqrt5-1}{2}\vec c $$

であり、

$$ \overrightarrow{OF} = \frac{1+\sqrt5}{2}\vec a +\vec b +\frac{3+\sqrt5}{2}\vec c $$

である。

(3)

$$ \overrightarrow{OH} = \frac12\vec a+\frac12\vec b+\frac{\sqrt5-1}{4}\vec c $$

であり、その長さは

$$ \frac12 $$

である。