数学C 空間ベクトル 問題 92 解説

方針・初手

平面 $\alpha$ は法線ベクトル $\vec n=(-3,1,2)$ をもち，点 $A(1,2,4)$ を通る。まず平面 $\alpha$ の方程式を求める。

その後，(1) は点と平面の対称移動の公式を用いる。(2) は，点 $P$ を平面 $\alpha$ に関して反転した点 $R$ を使い，$PS=RS$ として折れ線の最短距離を直線距離に帰着する。

解法1

平面 $\alpha$ は点 $A(1,2,4)$ を通り，法線ベクトルが $\vec n=(-3,1,2)$ であるから，

$$ -3(x-1)+(y-2)+2(z-4)=0 $$

すなわち

$$ -3x+y+2z-7=0 $$

である。

点 $P(-2,1,7)$ を代入すると，

$$ -3(-2)+1+2\cdot 7-7=14 $$

である。また点 $Q(1,3,7)$ を代入すると，

$$ -3\cdot 1+3+2\cdot 7-7=7 $$

であり，確かに $P,Q$ は平面 $\alpha$ に関して同じ側にある。

(1)

点 $P$ から平面 $\alpha$ への垂線の向きは法線ベクトル $\vec n=(-3,1,2)$ の向きである。

平面の式を

$$ \vec n\cdot(\vec x-\vec A)=0 $$

と見ると，

$$ \vec n\cdot(\vec P-\vec A)=14 $$

である。また

$$ |\vec n|^2=(-3)^2+1^2+2^2=14 $$

である。

よって，点 $P$ の平面 $\alpha$ に関する対称点 $R$ は

$$ \vec R=\vec P-2\frac{\vec n\cdot(\vec P-\vec A)}{|\vec n|^2}\vec n $$

より，

$$ \vec R=\vec P-2\vec n $$

となる。したがって

$$ R=(-2,1,7)-2(-3,1,2)=(4,-1,3) $$

である。

(2)

$R$ は $P$ を平面 $\alpha$ に関して対称に移した点であるから，平面 $\alpha$ 上の任意の点 $S$ に対して

$$ PS=RS $$

が成り立つ。したがって

$$ PS+QS=RS+QS $$

である。

ここで，$R$ は $P$ と反対側にあるので，$Q$ と $R$ は平面 $\alpha$ に関して反対側にある。したがって，線分 $RQ$ は平面 $\alpha$ とただ1点で交わる。

任意の点 $S$ について三角不等式より

$$ RS+QS\geqq RQ $$

であり，等号は $S$ が線分 $RQ$ 上にあるときに成り立つ。よって，求める点 $S$ は直線 $RQ$ と平面 $\alpha$ の交点である。

直線 $RQ$ 上の点を

$$ S=R+t(Q-R) $$

とおく。$R=(4,-1,3)$，$Q=(1,3,7)$ より，

$$ Q-R=(-3,4,4) $$

であるから，

$$ S=(4-3t,-1+4t,3+4t) $$

である。

これを平面 $\alpha$ の方程式

$$ -3x+y+2z-7=0 $$

に代入すると，

$$ -3(4-3t)+(-1+4t)+2(3+4t)-7=0 $$

となる。整理して

$$ -14+21t=0 $$

より，

$$ t=\frac{2}{3} $$

である。

したがって

$$ S=\left(4-3\cdot\frac{2}{3},-1+4\cdot\frac{2}{3},3+4\cdot\frac{2}{3}\right) $$

より，

$$ S=\left(2,\frac{5}{3},\frac{17}{3}\right) $$

である。

このときの最小値は

$$ RQ=\sqrt{(1-4)^2+(3+1)^2+(7-3)^2} $$

であるから，

$$ RQ=\sqrt{9+16+16}=\sqrt{41} $$

である。

解説

この問題の中心は，平面に関する対称移動を使って折れ線の最短距離を直線距離に変換することである。

点 $S$ が平面 $\alpha$ 上にあるため，$P$ とその対称点 $R$ について常に $PS=RS$ が成り立つ。したがって $PS+QS$ の最小化は，$RS+QS$ の最小化に変わる。

$Q$ と $R$ が平面 $\alpha$ の反対側にあるため，直線距離 $RQ$ を実現する点が平面 $\alpha$ 上に存在する。この点が直線 $RQ$ と平面 $\alpha$ の交点である。

答え

(1)

$$ R=(4,-1,3) $$

(2)

$$ S=\left(2,\frac{5}{3},\frac{17}{3}\right) $$

最小値は

$$ \sqrt{41} $$