数学C 空間ベクトル 問題 96 解説

方針・初手

三角形 $OPQ$ は、2本のベクトル $\overrightarrow{OP}$ と $\overrightarrow{OQ}$ で決まる。角度は内積、面積は外積を用いるのが自然である。

また、点 $R(1,1,1)$ が平面 $OPQ$ 上にある条件は、$\overrightarrow{OR}$ が $\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ}$ の一次結合で表されることとして扱う。

解法1

まず、

$$ \overrightarrow{OP}=(1,0,a),\qquad \overrightarrow{OQ}=(0,2,b) $$

である。

(1)

$\theta$ は $\overrightarrow{OP}$ と $\overrightarrow{OQ}$ のなす角であるから、内積の定義より

$$ \cos\theta = \frac{\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}} {|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{OQ}|} $$

である。

ここで、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ} &= 1\cdot 0+0\cdot 2+a b\\ &= ab \end{aligned} $$

また、

$$ |\overrightarrow{OP}|=\sqrt{1+a^2},\qquad |\overrightarrow{OQ}|=\sqrt{4+b^2} $$

である。したがって、

$$ \cos\theta = \frac{ab}{\sqrt{1+a^2}\sqrt{4+b^2}} $$

となる。

(2)

三角形 $OPQ$ の面積 $S$ は

$$ S=\frac12|\overrightarrow{OP}\times\overrightarrow{OQ}| $$

で求められる。

外積を計算すると、

$$ \overrightarrow{OP}\times\overrightarrow{OQ} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ 1 & 0 & a\\ 0 & 2 & b \end{vmatrix} = (-2a,-b,2) $$

である。よって、

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{OP}\times\overrightarrow{OQ}| &= \sqrt{(-2a)^2+(-b)^2+2^2}\\ &= \sqrt{4a^2+b^2+4} \end{aligned} $$

だから、

$$ S = \frac12\sqrt{4a^2+b^2+4} $$

である。

(3)

点 $R(1,1,1)$ が $O,P,Q$ の定める平面上にあるためには、ある実数 $s,t$ を用いて

$$ \overrightarrow{OR} = s\overrightarrow{OP}+t\overrightarrow{OQ} $$

と表せればよい。

すなわち、

$$ \begin{aligned} (1,1,1) &= s(1,0,a)+t(0,2,b)\\ &= (s,2t,as+bt) \end{aligned} $$

である。各成分を比較すると、

$$ s=1,\qquad 2t=1 $$

より

$$ s=1,\qquad t=\frac12 $$

である。第3成分より、

$$ 1=a\cdot 1+b\cdot \frac12 $$

したがって、

$$ a+\frac{b}{2}=1 $$

すなわち、

$$ 2a+b=2 $$

が $a,b$ の関係である。

この条件のもとで $S$ の最小値を求める。$b=2-2a$ とおくと、

$$ 4a^2+b^2+4 = 4a^2+(2-2a)^2+4 $$

である。これを整理すると、

$$ \begin{aligned} 4a^2+(2-2a)^2+4 &=4a^2+4(1-a)^2+4\\ &=4a^2+4(a^2-2a+1)+4\\ &=8a^2-8a+8\\ &=8\left(a-\frac12\right)^2+6 \end{aligned} $$

となる。

したがって、

$$ 4a^2+b^2+4\geqq 6 $$

であり、等号は

$$ a=\frac12 $$

のときに成り立つ。このとき

$$ b=2-2\cdot\frac12=1 $$

である。

よって、

$$ \begin{aligned} S_{\min} &= \frac12\sqrt{6}\\ &= \frac{\sqrt6}{2} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、空間座標の問題をベクトルに置き換えることが重要である。

角度は内積、三角形の面積は外積で処理すると、座標計算だけで自然に求められる。また、点が平面上にある条件は、平面を張る2本のベクトルの一次結合で表すのが基本である。

最後の最小化では、条件 $2a+b=2$ によって $b$ を消去し、$S$ の中身である $4a^2+b^2+4$ を平方完成すればよい。$S$ は平方根を含むが、平方根は単調増加なので、中身を最小化すれば十分である。

答え

(1)

$$ \cos\theta = \frac{ab}{\sqrt{1+a^2}\sqrt{4+b^2}} $$

(2)

$$ S = \frac12\sqrt{4a^2+b^2+4} $$

(3)

$$ 2a+b=2 $$

また、

$$ S_{\min} = \frac{\sqrt6}{2} $$

等号は

$$ a=\frac12,\qquad b=1 $$

のときに成り立つ。