数学C 空間ベクトル 問題 97 解説

方針・初手

点 $P,Q,R$ を通る平面の方程式を求める。点 $S(7,y,z)$ がその平面上にある条件から $y+z$ が決まり、その条件のもとで $OS$ の長さを最小化する。

解法1

点 $P(1,0,0),Q(0,1,0),R(0,0,1)$ を通る平面を

$$ ax+by+cz=d $$

とおく。

それぞれの点を代入すると、

$$ a=d,\quad b=d,\quad c=d $$

である。したがって $a=b=c=d$ となるので、この平面の方程式は

$$ x+y+z=1 $$

である。

点 $S(7,y,z)$ がこの平面上にあるから、

$$ 7+y+z=1 $$

より、

$$ y+z=-6 $$

である。

次に、線分 $OS$ の長さを考える。原点 $O(0,0,0)$ から $S(7,y,z)$ までの距離は

$$ OS=\sqrt{7^2+y^2+z^2} =\sqrt{49+y^2+z^2} $$

である。

よって $OS$ を最小にするには、条件 $y+z=-6$ のもとで $y^2+z^2$ を最小にすればよい。

ここで、

$$ y^2+z^2 =\frac{(y+z)^2+(y-z)^2}{2} $$

であるから、$y+z=-6$ を代入すると、

$$ y^2+z^2 =\frac{36+(y-z)^2}{2} =18+\frac{(y-z)^2}{2} $$

となる。

したがって、これは $y-z=0$、すなわち $y=z$ のとき最小となる。このとき $y+z=-6$ より、

$$ y=z=-3 $$

であり、

$$ y^2+z^2=9+9=18 $$

である。

したがって、

$$ OS_{\min} =\sqrt{49+18} =\sqrt{67} $$

である。

解説

$P,Q,R$ はそれぞれ座標軸上の切片を表しているので、これらを通る平面はすぐに $x+y+z=1$ と分かる。

後半は、$y+z$ が一定のときに $y^2+z^2$ を最小化する問題である。和が一定なら、2つの数が等しいときに二乗和が最小になる。この問題では $y+z=-6$ なので、$y=z=-3$ のとき最小となる。

答え

$$ y+z=-6 $$

$$ OS \text{ の長さの最小値}=\sqrt{67} $$