数学C 空間ベクトル 問題 103 解説

方針・初手

点 $C$ の座標をまず求める。次に、点 $D(a,b,c)$ に対する2つの条件を内積で式に直し、$a,b$ を $c$ で表す。最後に $OD^2=a^2+b^2+c^2$ を $c$ の2次式として最小化する。

解法1

点 $C$ は線分 $AB$ を $2:1$ に内分するから、

$$ C=\frac{A+2B}{3} $$

である。よって、

$$ C=\frac{(1,2,-1)+2\left(-\frac12,\frac72,5\right)}{3} =\frac{(0,9,9)}{3} =(0,3,3) $$

となる。

したがって、

$$ \vec{OC}=(0,3,3),\qquad \vec{OA}=(1,2,-1) $$

である。

条件

$$ \vec{OC}\cdot \vec{OD}=2\vec{OC}\cdot \vec{OA} $$

を用いる。点 $D(a,b,c)$ に対して $\vec{OD}=(a,b,c)$ であり、

$$ \vec{OC}\cdot \vec{OD}=3b+3c $$

また、

$$ \vec{OC}\cdot \vec{OA}=0\cdot 1+3\cdot 2+3\cdot(-1)=3 $$

である。よって、

$$ 3b+3c=2\cdot 3 $$

より、

$$ b+c=2 $$

したがって、

$$ b=2-c $$

である。

次に、$\vec{CD}$ が $\vec{CA}$ に垂直であることを用いる。

$$ \vec{CD}=(a,b-3,c-3),\qquad \vec{CA}=(1,-1,-4) $$

であるから、

$$ \vec{CD}\cdot \vec{CA}=0 $$

より、

$$ a-(b-3)-4(c-3)=0 $$

すなわち、

$$ a-b-4c+15=0 $$

である。ここに $b=2-c$ を代入すると、

$$ a-(2-c)-4c+15=0 $$

より、

$$ a=3c-13 $$

となる。

したがって、

$$ OD^2=a^2+b^2+c^2 $$

に

$$ a=3c-13,\qquad b=2-c $$

を代入すると、

$$ \begin{aligned} OD^2 &=(3c-13)^2+(2-c)^2+c^2 \\ &=9c^2-78c+169+c^2-4c+4+c^2 \\ &=11c^2-82c+173 \end{aligned} $$

である。

長さ $OD$ を最小にすることは、$OD^2$ を最小にすることと同値である。平方完成すると、

$$ \begin{aligned} 11c^2-82c+173 &=11\left(c^2-\frac{82}{11}c\right)+173 \\ &=11\left(c-\frac{41}{11}\right)^2+173-\frac{1681}{11} \\ &=11\left(c-\frac{41}{11}\right)^2+\frac{222}{11} \end{aligned} $$

よって、$OD$ が最小となるのは

$$ c=\frac{41}{11} $$

のときであり、そのとき

$$ OD^2=\frac{222}{11} $$

である。したがって、最小値は

$$ OD=\sqrt{\frac{222}{11}} $$

である。

解説

この問題では、条件をすべてベクトルの内積に直すことが重要である。

特に、$\vec{OC}\cdot \vec{OD}=2\vec{OC}\cdot \vec{OA}$ は $b,c$ の関係式を与え、$\vec{CD}\perp \vec{CA}$ は $a,b,c$ の関係式を与える。これにより $a,b$ を $c$ の式で表せるので、$OD^2$ を $c$ だけの2次式として処理できる。

長さ $OD$ そのものではなく $OD^2$ を最小化するのが標準的な処理である。平方根は単調増加なので、$OD$ の最小化と $OD^2$ の最小化は同値である。

答え

$$ \boxed{\text{ア}=(0,3,3)} $$

$$ \boxed{\text{イ}=3c-13} $$

$$ \boxed{\text{ウ}=2-c} $$

$$ \boxed{\text{エ}=\frac{41}{11}} $$

$$ \boxed{\text{オ}=\sqrt{\frac{222}{11}}} $$