数学C 空間ベクトル 問題 102 解説

方針・初手

$P,Q$ はともに直線 $\ell$ 上にあるので，正三角形 $\triangle PQR$ の底辺を $PQ$ と見る。

このとき，$PQ$ の中点を $M$ とすると，正三角形の性質より $RM \perp \ell$ である。したがって，面積を最小にするには，$R$ を直線 $m$ 上で動かしたときの直線 $\ell$ からの距離を最小にすればよい。

解法1

直線 $\ell$ の方向ベクトルは

$$ \boldsymbol{u}=(0,-1,1) $$

である。また，直線 $m$ は $B(0,2,1)$ から $C(-2,2,-3)$ へ向かうので，方向ベクトルとして

$$ \boldsymbol{v}=(1,0,2) $$

をとることができる。

したがって，直線 $\ell$ 上の点 $M$，直線 $m$ 上の点 $R$ をそれぞれ

$$ M=(0,-t,t),\qquad R=(r,2,1+2r) $$

とおく。

面積を最小にするには，$R$ から $\ell$ へ下ろした垂線の足が $M$ となればよい。さらに，$R$ が $m$ 上で最短距離を与える点であるためには，ベクトル $\overrightarrow{MR}$ が $\ell$ と $m$ の両方に垂直である。

ここで

$$ \overrightarrow{MR}=R-M=(r,2+t,1+2r-t) $$

である。

まず $\overrightarrow{MR}\perp \boldsymbol{u}$ より，

$$ (r,2+t,1+2r-t)\cdot(0,-1,1)=0 $$

すなわち

$$ -(2+t)+(1+2r-t)=0 $$

であるから，

$$ 2r-2t-1=0 $$

となる。よって

$$ t=r-\frac{1}{2} $$

を得る。

次に $\overrightarrow{MR}\perp \boldsymbol{v}$ より，

$$ (r,2+t,1+2r-t)\cdot(1,0,2)=0 $$

すなわち

$$ r+2(1+2r-t)=0 $$

であるから，

$$ 5r+2-2t=0 $$

となる。

ここに $t=r-\frac{1}{2}$ を代入すると，

$$ 5r+2-2\left(r-\frac{1}{2}\right)=0 $$

より

$$ 3r+3=0 $$

である。したがって

$$ r=-1,\qquad t=-\frac{3}{2} $$

を得る。

よって，最小距離を与える点は

$$ R=(-1,2,-1) $$

であり，そのときの垂線の足は

$$ M=\left(0,\frac{3}{2},-\frac{3}{2}\right) $$

である。

次に，この $M$ を中点として，$\ell$ 上に $P,Q$ をとる。正三角形において，底辺 $PQ$ に対する高さを $h=RM$ とすると，

$$ RM=\frac{\sqrt{3}}{2}PQ $$

である。

まず

$$ \overrightarrow{MR}=(-1,\frac{1}{2},\frac{1}{2}) $$

だから，

$$ RM^2=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{2} $$

である。

したがって，$PQ$ の半分の長さは

$$ \frac{PQ}{2}=\frac{RM}{\sqrt{3}} $$

であり，

$$ \left(\frac{PQ}{2}\right)^2=\frac{RM^2}{3}=\frac{1}{2} $$

となる。

直線 $\ell$ の方向ベクトル $\boldsymbol{u}=(0,-1,1)$ の長さは $\sqrt{2}$ なので，$\ell$ 上で長さ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ だけ進むベクトルは

$$ \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{(0,-1,1)}{\sqrt{2}} =\left(0,-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) $$

である。

よって，$M$ を中点として

$$ P=M+\left(0,-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right),\qquad Q=M-\left(0,-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) $$

とすればよい。

したがって

$$ P=(0,1,-1),\qquad Q=(0,2,-2) $$

である。

実際，

$$ PQ=\sqrt{2},\qquad PR=\sqrt{2},\qquad QR=\sqrt{2} $$

となるので，$\triangle PQR$ は正三角形である。

解説

この問題の要点は，$P,Q$ が同一直線 $\ell$ 上にあるため，正三角形の底辺を $PQ$ と見られることである。

正三角形では，頂点 $R$ から底辺 $PQ$ へ下ろした垂線の足は $PQ$ の中点になる。したがって，面積最小の問題は，直線 $m$ 上の点 $R$ と直線 $\ell$ との距離を最小にする問題に帰着する。

空間内の2直線間の最短距離は，両方の直線の方向ベクトルに垂直な線分で与えられる。この条件を内積で立式するのが最も安定した解法である。

答え

$$ P=(0,1,-1),\qquad Q=(0,2,-2),\qquad R=(-1,2,-1) $$

ただし，$P,Q$ は入れ替えてもよい。