数学C 空間ベクトル 問題 110 解説

方針・初手

空間ベクトルの垂直条件は内積 $0$ で表す。点 $P$ は $P(p,q,4)$ と与えられているので、$\overrightarrow{OP}=(p,q,4)$ とおいて条件を式に直す。

また、最小値の問題では、$|\vec{v}|$ の最小化は $|\vec{v}|^2$ の最小化に置き換えると扱いやすい。

解法1

まず、各ベクトルを求める。

$$ \overrightarrow{OA}=(1,-4,5),\quad \overrightarrow{OB}=(1,2,-1),\quad \overrightarrow{OP}=(p,q,4) $$

また、

$$ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} =(0,6,-6) $$

$$ \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB} =(1,-1,0) $$

(1)

$\overrightarrow{OP}$ が $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{BC}$ の両方に垂直であるから、

$$ \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{AB}=0,\quad \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{BC}=0 $$

である。

それぞれ計算すると、

$$ (p,q,4)\cdot(0,6,-6)=6q-24=0 $$

より、

$$ q=4 $$

また、

$$ (p,q,4)\cdot(1,-1,0)=p-q=0 $$

より、

$$ p=q $$

したがって、

$$ p=4,\quad q=4 $$

である。

(2)

$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OP}$ が垂直であるから、

$$ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP}=0 $$

すなわち、

$$ (1,-4,5)\cdot(p,q,4)=p-4q+20=0 $$

よって、

$$ p-4q=-20 $$

次に、

$$ |\overrightarrow{OP}+s\overrightarrow{OB}| $$

が $s=-2$ で最小になる条件を考える。

長さの最小化は、その2乗

$$ |\overrightarrow{OP}+s\overrightarrow{OB}|^2 $$

の最小化と同値である。

ここで、

$$ f(s)=|\overrightarrow{OP}+s\overrightarrow{OB}|^2 $$

とおくと、

$$ f(s)=|\overrightarrow{OP}|^2 +2s(\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OB}) +s^2|\overrightarrow{OB}|^2 $$

である。これが $s=-2$ で最小になるので、

$$ f'(-2)=0 $$

が成り立つ。

$$ f'(s)=2(\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OB}) +2s|\overrightarrow{OB}|^2 $$

より、

$$ 2(\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OB}) -4|\overrightarrow{OB}|^2=0 $$

したがって、

$$ \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OB} =2|\overrightarrow{OB}|^2 $$

である。

ここで、

$$ |\overrightarrow{OB}|^2=1^2+2^2+(-1)^2=6 $$

だから、

$$ \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OB}=12 $$

一方、

$$ (p,q,4)\cdot(1,2,-1)=p+2q-4 $$

なので、

$$ p+2q-4=12 $$

すなわち、

$$ p+2q=16 $$

これと $p-4q=-20$ を連立する。

$$ \begin{cases} p-4q=-20\\ p+2q=16 \end{cases} $$

下の式から上の式を引くと、

$$ 6q=36 $$

よって、

$$ q=6 $$

これを $p+2q=16$ に代入して、

$$ p+12=16 $$

したがって、

$$ p=4 $$

である。

(3)

求めるものは

$$ \left|\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{BC}\right| $$

の最小値である。

ここで、

$$ \vec{v} = \overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{BC} $$

とおく。

$\vec{v}$ の長さが最小になるとき、$\vec{v}$ は平面を張る2つの方向ベクトル $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{BC}$ の両方に垂直である。したがって、

$$ \vec{v}\cdot\overrightarrow{AB}=0,\quad \vec{v}\cdot\overrightarrow{BC}=0 $$

を満たせばよい。

まず、必要な内積を計算する。

$$ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AB} =(1,-4,5)\cdot(0,6,-6) =-54 $$

$$ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB} =0^2+6^2+(-6)^2=72 $$

$$ \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AB} =(1,-1,0)\cdot(0,6,-6) =-6 $$

よって、

$$ \vec{v}\cdot\overrightarrow{AB}=0 $$

は、

$$ -54+72s-6t=0 $$

すなわち、

$$ 12s-t=9 $$

である。

次に、

$$ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{BC} =(1,-4,5)\cdot(1,-1,0)=5 $$

$$ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC} =-6 $$

$$ \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BC} =1^2+(-1)^2+0^2=2 $$

より、

$$ \vec{v}\cdot\overrightarrow{BC}=0 $$

は、

$$ 5-6s+2t=0 $$

である。

したがって、

$$ \begin{cases} 12s-t=9\\ 5-6s+2t=0 \end{cases} $$

を解く。

第1式から、

$$ t=12s-9 $$

これを第2式に代入して、

$$ 5-6s+2(12s-9)=0 $$

$$ 18s-13=0 $$

よって、

$$ s=\frac{13}{18} $$

また、

$$ t=12\cdot\frac{13}{18}-9 =\frac{26}{3}-9 =-\frac{1}{3} $$

このとき、

$$ \vec{v} = (1,-4,5) +\frac{13}{18}(0,6,-6) -\frac{1}{3}(1,-1,0) $$

である。

成分ごとに計算すると、

$$ \vec{v} = \left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right) $$

したがって、最小値は

$$ \left|\vec{v}\right| = \sqrt{ \left(\frac{2}{3}\right)^2 +\left(\frac{2}{3}\right)^2 +\left(\frac{2}{3}\right)^2 } = \sqrt{\frac{4}{3}} \frac{2\sqrt{3}}{3} $$

である。

解法2

(3)

については、平面と原点の距離として考えると速い。

点

$$ \overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{BC} $$

は、$s,t$ がすべての実数を動くとき、点 $A$ を通り、方向ベクトル $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{BC}$ をもつ平面全体を動く。

したがって、

$$ \left|\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{BC}\right| $$

の最小値は、原点 $O$ から平面 $ABC$ までの距離である。

平面 $ABC$ の法線ベクトルを求める。$\overrightarrow{AB}=(0,6,-6)$、$\overrightarrow{BC}=(1,-1,0)$ に垂直なベクトルとして、

$$ (1,1,1) $$

が使える。実際、

$$ (1,1,1)\cdot(0,6,-6)=0 $$

$$ (1,1,1)\cdot(1,-1,0)=0 $$

である。

よって、平面 $ABC$ の方程式は

$$ x+y+z=d $$

とおける。点 $A(1,-4,5)$ を通るので、

$$ 1+(-4)+5=2 $$

より、

$$ x+y+z=2 $$

である。

原点から平面 $x+y+z=2$ までの距離は、

$$ \begin{aligned} \frac{|0+0+0-2|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} &= \frac{2}{\sqrt{3}}\\ &= \frac{2\sqrt{3}}{3} \end{aligned} $$

である。

したがって、最小値は

$$ \frac{2\sqrt{3}}{3} $$

である。

解説

この問題の中心は、垂直条件を内積で表すことと、最小値を「射影」または「平面との距離」として処理することである。

(1)

は条件をそのまま内積 $0$ にすればよい。

(2)

では、$|\overrightarrow{OP}+s\overrightarrow{OB}|$ を直接扱うより、その2乗を $s$ の2次関数として考えるのが自然である。最小となる $s$ が指定されているので、導関数がその値で $0$ になることを使う。

(3)

は、計算で解くなら「最短ベクトルは平面内の2方向に垂直」という条件を使う。別解のように、平面 $ABC$ の方程式を求めて原点からの距離に直すと、より短く処理できる。

答え

(1)

$$ p=4,\quad q=4 $$

(2)

$$ p=4,\quad q=6 $$

(3)

$$ \frac{2\sqrt{3}}{3} $$