数学C 空間ベクトル 問題 111 解説

方針・初手

$\overrightarrow{OE}=\vec e$ は辺 $AC$ の中点 $E$ への位置ベクトルであるから、まず $\overrightarrow{OC}$ を $\vec a,\vec e$ で表す。

また、点 $P$ は三角形 $OBC$ 上の点なので、$\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{OB}$ と $\overrightarrow{OC}$ の一次結合で表す。点 $Q$ は線分 $AP$ 上にあり、かつ三角形 $OBE$ 上にあるため、$\overrightarrow{OQ}$ の $\vec a$ 成分が消えることを利用する。

解法1

まず、$E$ は $AC$ の中点であるから、

$$ \vec e=\frac{\vec a+\overrightarrow{OC}}{2} $$

である。したがって、

$$ \overrightarrow{OC}=2\vec e-\vec a $$

である。

また、$D$ は $OA$ の中点なので、

$$ \overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}\vec a $$

である。

点 $F$ は線分 $OE$ 上にあるから、

$$ \overrightarrow{OF}=t\vec e $$

とおける。また、$F$ は線分 $CD$ 上にもあるから、ある実数 $u$ を用いて

$$ \overrightarrow{OF} = \overrightarrow{OC} + u\left(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}\right) $$

と表せる。これに $\overrightarrow{OC}=2\vec e-\vec a$ と $\overrightarrow{OD}=\dfrac{1}{2}\vec a$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OF} &= 2\vec e-\vec a + u\left(\frac{1}{2}\vec a-(2\vec e-\vec a)\right)\\ &= 2\vec e-\vec a + u\left(\frac{3}{2}\vec a-2\vec e\right)\\ &= \left(-1+\frac{3}{2}u\right)\vec a+(2-2u)\vec e \end{aligned} $$

である。これが $t\vec e$ に等しいので、$\vec a$ の係数は $0$ でなければならない。よって、

$$ -1+\frac{3}{2}u=0 $$

より、

$$ u=\frac{2}{3} $$

である。このとき、

$$ t=2-2u=2-\frac{4}{3}=\frac{2}{3} $$

となる。したがって、

$$ \overrightarrow{OF}=\frac{2}{3}\vec e $$

である。

次に、点 $P$ が三角形 $OBC$ 上にあるので、

$$ \overrightarrow{OP}=\alpha\vec b+\beta\overrightarrow{OC} $$

とおける。ただし、

$$ \alpha\geqq 0,\qquad \beta\geqq 0,\qquad \alpha+\beta\leqq 1 $$

である。$\overrightarrow{OC}=2\vec e-\vec a$ より、

$$ \overrightarrow{OP} = \alpha\vec b+\beta(2\vec e-\vec a) -\beta\vec a+\alpha\vec b+2\beta\vec e $$

である。

点 $Q$ は線分 $AP$ 上にあるので、

$$ \overrightarrow{OQ} = (1-\lambda)\vec a+\lambda\overrightarrow{OP} $$

とおける。ただし、$\lambda=\dfrac{AQ}{AP}$ である。

これに $\overrightarrow{OP}=-\beta\vec a+\alpha\vec b+2\beta\vec e$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OQ} &= (1-\lambda)\vec a + \lambda(-\beta\vec a+\alpha\vec b+2\beta\vec e)\\ &= {1-\lambda(1+\beta)}\vec a + \lambda\alpha\vec b + 2\lambda\beta\vec e \end{aligned} $$

である。

一方、$Q$ は三角形 $OBE$ 上の点であるから、$\overrightarrow{OQ}$ は $\vec b,\vec e$ の一次結合で表される。したがって、$\vec a$ の係数は $0$ であり、

$$ 1-\lambda(1+\beta)=0 $$

となる。よって、

$$ \lambda=\frac{1}{1+\beta} $$

である。したがって、

$$ \frac{AQ}{AP}=\frac{1}{1+\beta} $$

だから、

$$ AP:AQ=(1+\beta):1 $$

である。

(2)

$P$ が三角形 $OBC$ の重心であるとき、

$$ \overrightarrow{OP} = \frac{1}{3}\vec b+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC} $$

であるから、

$$ \alpha=\frac{1}{3},\qquad \beta=\frac{1}{3} $$

である。よって、

$$ AP:AQ = \left(1+\frac{1}{3}\right):1 \frac{4}{3}:1 4:3 $$

である。

(3)

条件 $AP:AQ=3:2$ は、

$$ \frac{AQ}{AP}=\frac{2}{3} $$

を意味する。すなわち、

$$ \lambda=\frac{2}{3} $$

である。

一方、

$$ \lambda=\frac{1}{1+\beta} $$

なので、

$$ \frac{1}{1+\beta}=\frac{2}{3} $$

より、

$$ 1+\beta=\frac{3}{2} $$

したがって、

$$ \beta=\frac{1}{2} $$

である。

点 $P$ は三角形 $OBC$ の内部、境界を含む部分を動くので、

$$ \alpha\geqq 0,\qquad \beta\geqq 0,\qquad \alpha+\beta\leqq 1 $$

である。ここで $\beta=\dfrac{1}{2}$ だから、

$$ 0\leqq \alpha\leqq \frac{1}{2} $$

である。

また、

$$ \overrightarrow{OQ} = \lambda\alpha\vec b+2\lambda\beta\vec e $$

であり、$\lambda=\dfrac{2}{3}$、$\beta=\dfrac{1}{2}$ を代入すると、

$$ \overrightarrow{OQ} = \frac{2\alpha}{3}\vec b+\frac{2}{3}\vec e $$

となる。したがって、

$$ \overrightarrow{OQ}=x\vec b+y\vec e $$

とおくと、

$$ x=\frac{2\alpha}{3},\qquad y=\frac{2}{3} $$

である。$0\leqq \alpha\leqq \dfrac{1}{2}$ より、

$$ 0\leqq x\leqq \frac{1}{3} $$

である。

よって、点 $(x,y)$ の動く範囲は、

$$ 0\leqq x\leqq \frac{1}{3},\qquad y=\frac{2}{3} $$

である。座標平面上では、点

$$ \left(0,\frac{2}{3}\right),\qquad \left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right) $$

を結ぶ線分である。

解説

この問題では、三角形 $OBC$ 上の点 $P$ を

$$ \overrightarrow{OP}=\alpha\vec b+\beta\overrightarrow{OC} $$

とおくのが重要である。三角形上の点であることは、係数条件

$$ \alpha\geqq 0,\qquad \beta\geqq 0,\qquad \alpha+\beta\leqq 1 $$

に変換される。

また、$Q$ が三角形 $OBE$ 上にあるという条件は、$\overrightarrow{OQ}$ に $\vec a$ 成分が含まれないという条件に置き換えられる。これにより、線分 $AP$ 上の比 $\lambda=\dfrac{AQ}{AP}$ が

$$ \lambda=\frac{1}{1+\beta} $$

と決まる。

特に、$AP:AQ=3:2$ は $\lambda=\dfrac{2}{3}$ と読む点に注意する。比を逆に読んで $\lambda=\dfrac{3}{2}$ としてしまうと、線分 $AP$ 上の点でなくなり、誤りである。

答え

(1)

$$ \overrightarrow{OC}=2\vec e-\vec a $$

$$ \overrightarrow{OF}=\frac{2}{3}\vec e $$

(2)

$$ AP:AQ=4:3 $$

(3)

$$ 0\leqq x\leqq \frac{1}{3},\qquad y=\frac{2}{3} $$

すなわち、座標平面上で

$$ \left(0,\frac{2}{3}\right) $$

と

$$ \left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right) $$

を結ぶ線分である。