数学C 空間ベクトル 問題 114 解説

方針・初手

$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{BC}$ はどちらも具体的に成分で表せるので，まずこれらを求める。

$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{BC}$ の両方に垂直なベクトルは，外積から求める。また，内分点 $P,Q$ はパラメータ $s,t$ を用いて成分表示し，垂直条件は内積が $0$ であることに帰着させる。

解法1

まず

$$ \overrightarrow{OA}=(1,1,-1) $$

である。また，

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{BC} &= C-B\\ &= (4k+4,-2k,-k)-(4k,-2k+2,-k+1)\\ &= (4,-2,-1) \end{aligned} $$

である。

(1)

$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{BC}$ の両方に垂直なベクトルは，$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{BC}$ の外積に平行である。

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{BC} &= (1,1,-1)\times(4,-2,-1) \\ &= (-3,-3,-6) \\ &= -3(1,1,2) \end{aligned} $$

したがって，求める単位ベクトルは $(1,1,2)$ に平行である。

$(1,1,2)$ の大きさは

$$ \sqrt{1^2+1^2+2^2}=\sqrt{6} $$

であるから，求めるベクトルは

$$ \vec{n}=\pm \frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,2) $$

である。

(2)

点 $P$ は辺 $OA$ を $s:(1-s)$ に内分するので，

$$ P=sA+(1-s)O=sA $$

より，

$$ P=(s,s,-s) $$

である。

点 $Q$ は辺 $BC$ を $t:(1-t)$ に内分するので，

$$ Q=(1-t)B+tC=B+t(C-B) $$

である。よって

$$ \begin{aligned} Q &=(4k,-2k+2,-k+1)+t(4,-2,-1) \\ &=(4k+4t,-2k+2-2t,-k+1-t) \end{aligned} $$

である。

したがって，

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{PQ} &=Q-P \\ &=(4k+4t-s,-2k+2-2t-s,-k+1-t+s) \end{aligned} $$

である。

(3)

$\overrightarrow{PQ}$ が $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{BC}$ の両方に垂直であるから，

$$ \overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{OA}=0 $$

かつ

$$ \overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{BC}=0 $$

である。

まず $\overrightarrow{OA}=(1,1,-1)$ との内積を計算すると，

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{OA} &=(4k+4t-s)+(-2k+2-2t-s)-(-k+1-t+s) \\ &=3k+3t-3s+1 \end{aligned} $$

である。よって

$$ 3k+3t-3s+1=0 $$

を得る。

次に $\overrightarrow{BC}=(4,-2,-1)$ との内積を計算すると，

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{BC} &=4(4k+4t-s)-2(-2k+2-2t-s)-(-k+1-t+s) \\ &=21k+21t-3s-5 \end{aligned} $$

である。よって

$$ 21k+21t-3s-5=0 $$

を得る。

これらを整理すると，

$$ s=k+t+\frac{1}{3} $$

および

$$ s=7k+7t-\frac{5}{3} $$

である。したがって

$$ k+t+\frac{1}{3}=7k+7t-\frac{5}{3} $$

より，

$$ 6k+6t=2 $$

すなわち

$$ k+t=\frac{1}{3} $$

である。

これを $s=k+t+\frac{1}{3}$ に代入して，

$$ s=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3} $$

を得る。また，

$$ t=\frac{1}{3}-k $$

である。

したがって，

$$ P=\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{2}{3}\right) $$

である。

また，

$$ \begin{aligned} Q &=(4k+4t,-2k+2-2t,-k+1-t) \\ &=\left(4k+4\left(\frac{1}{3}-k\right),-2k+2-2\left(\frac{1}{3}-k\right),-k+1-\left(\frac{1}{3}-k\right)\right) \\ &=\left(\frac{4}{3},\frac{4}{3},\frac{2}{3}\right) \end{aligned} $$

である。

ただし，$P,Q$ は内分点であるから，$0<s<1,\ 0<t<1$ が必要である。$s=\frac{2}{3}$ はこれを満たす。一方，

$$ 0<\frac{1}{3}-k<1 $$

より，

$$ -\frac{2}{3}<k<\frac{1}{3} $$

である。

解説

この問題では，$\overrightarrow{BC}$ が

$$ \overrightarrow{BC}=(4,-2,-1) $$

となり，$k$ によらないことが重要である。

(1) は，2つのベクトルの両方に垂直な方向を外積で求める典型問題である。符号が反対のものも単位ベクトルとして条件を満たすため，必ず $\pm$ をつける。

(3) では，$\overrightarrow{PQ}$ を成分で表したうえで，垂直条件を内積 $0$ に直す。未知数は $s,t$ であり，$k$ は定数として扱う。最後に $P,Q$ が内分点である条件 $0<s<1,\ 0<t<1$ を確認する必要がある。

答え

(1)

$$ \vec{n}=\pm \frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,2) $$

(2)

$$ \overrightarrow{PQ} = (4k+4t-s,-2k+2-2t-s,-k+1-t+s) $$

(3)

$$ -\frac{2}{3}<k<\frac{1}{3} $$

のとき，

$$ P=\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{2}{3}\right), \qquad Q=\left(\frac{4}{3},\frac{4}{3},\frac{2}{3}\right) $$

である。