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数学C 空間ベクトル問題 115 解説

方針・初手

平面 $\alpha$ の方程式を求め、点 $P(6,p,q)$ と平面の距離を計算する。

四面体 $ABCP$ の体積は、底面を三角形 $ABC$ と見れば

$$ V=\frac{1}{3}\cdot \triangle ABC\text{ の面積}\cdot PH $$

で求められる。したがって、まず平面 $\alpha$ と三角形 $ABC$ の面積を求める。

解法1

点 $A(1,2,3),B(3,2,3),C(4,5,6)$ について

$$ \overrightarrow{AB}=(2,0,0),\qquad \overrightarrow{AC}=(3,3,3) $$

である。

平面 $\alpha$ の法線ベクトルは、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の両方に垂直なベクトルである。外積を用いると

$$ \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ 2&0&0\\ 3&3&3 \end{vmatrix} =(0,-6,6) $$

であるから、法線ベクトルとして $(0,-1,1)$ をとれる。

よって平面 $\alpha$ は

$$ -y+z+d=0 $$

の形である。点 $A(1,2,3)$ を通るので

$$ -2+3+d=0 $$

より $d=-1$ である。したがって

$$ -y+z-1=0 $$

すなわち

$$ z-y-1=0 $$

が平面 $\alpha$ の方程式である。

点 $P(6,p,q)$ と平面 $z-y-1=0$ の距離が $PH$ であるから、点と平面の距離公式より

$$ PH=\frac{|q-p-1|}{\sqrt{0^2+(-1)^2+1^2}} =\frac{|q-p-1|}{\sqrt{2}} $$

である。

これは

$$ PH=\frac{|p-q+1|}{\sqrt{2}} $$

と書いても同じである。

次に、三角形 $ABC$ の面積を求める。外積の大きさを用いると

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}| &= |(0,-6,6)|\\ &= 6\sqrt{2} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \triangle ABC\text{ の面積} &= \frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{2}\\ &= 3\sqrt{2} \end{aligned} $$

である。

したがって四面体 $ABCP$ の体積を $V$ とすると

$$ V = \frac{1}{3}\cdot 3\sqrt{2}\cdot \frac{|p-q+1|}{\sqrt{2}} |p-q+1| $$

である。

ここで、点 $P$ は

$$ (p-9)^2+(q-7)^2=1 $$

を満たして動く。そこで

$$ p=9+u,\qquad q=7+v $$

とおくと、

$$ u^2+v^2=1 $$

であり、

$$ \begin{aligned} p-q+1 &= (9+u)-(7+v)+1\\ &= 3+u-v \end{aligned} $$

である。

ここで、$u^2+v^2=1$ のもとで $u-v$ の最大値・最小値を調べる。コーシー・シュワルツの不等式より

$$ |u-v| = |(1,-1)\cdot(u,v)| \leqq \sqrt{1^2+(-1)^2}\sqrt{u^2+v^2} = \sqrt{2} $$

である。

したがって

$$ -\sqrt{2}\leqq u-v\leqq \sqrt{2} $$

であり、

$$ 3-\sqrt{2}\leqq 3+u-v\leqq 3+\sqrt{2} $$

となる。

また $3-\sqrt{2}>0$ であるから、この範囲では絶対値を外してよい。よって

$$ V=|3+u-v|=3+u-v $$

であり、体積の最小値と最大値はそれぞれ

$$ 3-\sqrt{2},\qquad 3+\sqrt{2} $$

である。

解説

この問題の中心は、四面体の体積を「底面積 $\times$ 高さ」で処理することである。平面 $\alpha$ が三角形 $ABC$ を含むので、底面を $ABC$ とすれば、高さは点 $P$ から平面 $\alpha$ までの距離 $PH$ になる。

平面 $\alpha$ の方程式は、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の外積から法線ベクトルを求めるのが最も自然である。また、最後の最大・最小は、円周上の点 $(u,v)$ に対する一次式 $u-v$ の最大・最小に帰着する。これはコーシー・シュワルツの不等式で処理できる典型問題である。