数学C 空間ベクトル 問題 125 解説

方針・初手

点 $P,Q$ はそれぞれ縦の辺 $AE,CG$ 上にあるので、まずそれぞれの高さを文字で置く。

そのうえで、$O,F,P,Q$ が同一平面上にある条件をスカラー三重積で表す。条件から $P,Q$ の高さの関係が決まり、四角形 $OPFQ$ は平行四辺形になるため、面積は外積で求められる。

解法1

点 $P$ は辺 $AE$ 上、点 $Q$ は辺 $CG$ 上にあるから、

$$ P=(1,0,t),\qquad Q=(0,2,u) $$

とおける。ただし、

$$ 0\leqq t\leqq 3,\qquad 0\leqq u\leqq 3 $$

である。

また、

$$ F=(1,2,3) $$

である。$O,F,P,Q$ が同一平面上にあるための条件は、ベクトル $\overrightarrow{OF},\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ}$ が一次従属であること、すなわち

$$ \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & 0 & t\\ 0 & 2 & u \end{pmatrix} =0 $$

である。

これを計算すると、

$$ \begin{aligned} \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & 0 & t\\ 0 & 2 & u \end{pmatrix} &=1(0\cdot u-2t)-2(1\cdot u-0\cdot t)+3(1\cdot 2-0\cdot 0)\\ &=-2t-2u+6 \end{aligned} $$

であるから、

$$ -2t-2u+6=0 $$

すなわち

$$ t+u=3 $$

を得る。よって、

$$ u=3-t $$

である。

したがって、

$$ P=(1,0,t),\qquad Q=(0,2,3-t) $$

となる。

ここで、

$$ \overrightarrow{OP}=(1,0,t),\qquad \overrightarrow{OQ}=(0,2,3-t) $$

であり、さらに

$$ \overrightarrow{PF}=F-P=(0,2,3-t)=\overrightarrow{OQ} $$

かつ

$$ \overrightarrow{QF}=F-Q=(1,0,t)=\overrightarrow{OP} $$

である。よって、四角形 $OPFQ$ は平行四辺形である。

したがって、その面積 $S$ は

$$ S=\left|\overrightarrow{OP}\times \overrightarrow{OQ}\right| $$

である。

外積を計算すると、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OP}\times \overrightarrow{OQ} &= (1,0,t)\times (0,2,3-t)\\ &=(-2t,\ t-3,\ 2) \end{aligned} $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} S^2 &=(-2t)^2+(t-3)^2+2^2\\ &=4t^2+(t-3)^2+4\\ &=5t^2-6t+13\\ &=5\left(t-\frac35\right)^2+\frac{56}{5} \end{aligned} $$

となる。

ここで $0\leqq t\leqq 3$ であり、$t=\dfrac35$ はこの範囲内にある。よって $S^2$ は

$$ t=\frac35 $$

のとき最小となる。

このとき、

$$ u=3-t=3-\frac35=\frac{12}{5} $$

であるから、

$$ P=\left(1,0,\frac35\right),\qquad Q=\left(0,2,\frac{12}{5}\right) $$

である。

また、最小面積は

$$ S=\sqrt{\frac{56}{5}} =\frac{2\sqrt{70}}{5} $$

である。

解説

この問題の中心は、同一平面上にある条件をどう式にするかである。点 $O$ が原点なので、$O,F,P,Q$ が同一平面上にある条件は、$\overrightarrow{OF},\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ}$ のスカラー三重積が $0$ であることにそのまま置き換えられる。

また、条件を満たすと

$$ \overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OQ},\qquad \overrightarrow{QF}=\overrightarrow{OP} $$

となるため、四角形 $OPFQ$ が平行四辺形になる。したがって、面積を三角形に分けて処理するより、外積で一気に求めるのが自然である。

最後は $S$ そのものではなく $S^2$ を最小化すればよい。面積は正であるため、$S$ の最小化と $S^2$ の最小化は同値である。

答え

$$ P=\left(1,0,\frac35\right),\qquad Q=\left(0,2,\frac{12}{5}\right) $$

$$ S_{\min}=\frac{2\sqrt{70}}{5} $$