数学C 空間ベクトル 問題 124 解説

方針・初手

点 $Q$ は点 $P$ を平面 $\alpha$ に関して対称移動した点であるから、まず平面 $\alpha$ の方程式を求める。

その後、点 $P$ から平面 $\alpha$ に下ろした垂線の足を $M$ とし、$M$ が線分 $PQ$ の中点であることから

$$ Q=2M-P $$

を用いる。

解法1

平面 $\alpha$ は $A(1,0,0)$、$B(0,-1,0)$、$C(0,0,2)$ を通る。

平面の方程式を

$$ ax+by+cz=d $$

とおく。

各点を代入すると、

$$ \begin{aligned} A(1,0,0)&より\quad a=d,\\ B(0,-1,0)&より\quad -b=d,\\ C(0,0,2)&より\quad 2c=d \end{aligned} $$

である。

$d=2$ としてよいので、

$$ a=2,\quad b=-2,\quad c=1 $$

となる。したがって、平面 $\alpha$ の方程式は

$$ 2x-2y+z=2 $$

すなわち

$$ 2x-2y+z-2=0 $$

である。

この平面の法線ベクトルは

$$ \vec{n}=(2,-2,1) $$

である。

点 $P(1,1,1)$ から平面 $\alpha$ に下ろした垂線の足を $M$ とする。$PM$ は平面 $\alpha$ に垂直であるから、$M$ は実数 $t$ を用いて

$$ M=P+t\vec{n} $$

と表せる。

よって

$$ M=(1,1,1)+t(2,-2,1)=(1+2t,1-2t,1+t) $$

である。

$M$ は平面 $\alpha$ 上にあるので、

$$ 2(1+2t)-2(1-2t)+(1+t)-2=0 $$

が成り立つ。

これを整理すると、

$$ 2+4t-2+4t+1+t-2=0 $$

より、

$$ 9t-1=0 $$

である。したがって、

$$ t=\frac{1}{9} $$

となる。

ゆえに

$$ M=\left(1+\frac{2}{9},1-\frac{2}{9},1+\frac{1}{9}\right) =\left(\frac{11}{9},\frac{7}{9},\frac{10}{9}\right) $$

である。

点 $M$ は線分 $PQ$ の中点であるから、$Q=(x,y,z)$ とすると

$$ \left(\frac{1+x}{2},\frac{1+y}{2},\frac{1+z}{2}\right) = \left(\frac{11}{9},\frac{7}{9},\frac{10}{9}\right) $$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} \frac{1+x}{2}&=\frac{11}{9},\\ \frac{1+y}{2}&=\frac{7}{9},\\ \frac{1+z}{2}&=\frac{10}{9} \end{aligned} $$

より、

$$ x=\frac{13}{9},\quad y=\frac{5}{9},\quad z=\frac{11}{9} $$

を得る。

よって、求める点 $Q$ の座標は

$$ Q\left(\frac{13}{9},\frac{5}{9},\frac{11}{9}\right) $$

である。

解説

平面に関する対称点を求める問題では、「垂線の足」と「中点」の2つを使うのが基本である。

今回の平面 $\alpha$ の法線ベクトルは、平面の方程式

$$ 2x-2y+z-2=0 $$

からすぐに

$$ (2,-2,1) $$

と分かる。

したがって、点 $P$ から平面に下ろした垂線上の点を

$$ P+t(2,-2,1) $$

とおけば、垂線の足 $M$ を直接求められる。

最後に $M$ が $PQ$ の中点であることを使う点が重要である。垂線の足 $M$ を求めただけでは、まだ対称点 $Q$ そのものではない。

答え

$$ Q\left(\frac{13}{9},\frac{5}{9},\frac{11}{9}\right) $$