トップ› 基礎問題› 数学C› 空間ベクトル› 空間ベクトル› 問題 128

数学C 空間ベクトル問題 128 解説

方針・初手

平面 $\alpha$ は $C,E,F$ を通るので、点 $C$ を基準にすると方向ベクトルは $\vec a,\vec b$ である。したがって、$H$ が平面 $\alpha$ 上にあることから

$$ \overrightarrow{OH}=\vec c+s\vec a+t\vec b $$

とおける。

また、$OH$ は平面 $\alpha$ に垂直であるから、$\overrightarrow{OH}$ は平面内の方向ベクトル $\vec a,\vec b$ の両方と垂直になる。この条件から $s,t$ を求める。

解法1

$\overrightarrow{OH}=\vec c+s\vec a+t\vec b$ とおく。

$OH\perp \alpha$ であり、$\vec a,\vec b$ は平面 $\alpha$ に平行なベクトルであるから、

$$ \overrightarrow{OH}\cdot \vec a=0,\qquad \overrightarrow{OH}\cdot \vec b=0 $$

が成り立つ。

まず、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OH}\cdot \vec a &=(\vec c+s\vec a+t\vec b)\cdot \vec a \\ &=\vec c\cdot \vec a+s|\vec a|^2+t\vec b\cdot \vec a \\ &=3+4s+4t \end{aligned} $$

であるから、

$$ 3+4s+4t=0 $$

を得る。

同様に、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OH}\cdot \vec b &=(\vec c+s\vec a+t\vec b)\cdot \vec b \\ &=\vec c\cdot \vec b+s\vec a\cdot \vec b+t|\vec b|^2 \\ &=5+4s+9t \end{aligned} $$

であるから、

$$ 5+4s+9t=0 $$

を得る。

よって連立方程式

$$ \begin{cases} 3+4s+4t=0,\\ 5+4s+9t=0 \end{cases} $$

を解く。

2式の差をとると、

$$ 5t=-2 $$

より、

$$ t=-\frac{2}{5} $$

である。

これを $3+4s+4t=0$ に代入して、

$$ 3+4s-\frac{8}{5}=0 $$

より、

$$ 4s=-\frac{7}{5} $$

したがって、

$$ s=-\frac{7}{20} $$

である。

よって、

$$ \overrightarrow{OH} =\vec c-\frac{7}{20}\vec a-\frac{2}{5}\vec b $$

となる。

次に、$\overrightarrow{OH}$ の大きさを求める。

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{OH}|^2 &=\left|\vec c-\frac{7}{20}\vec a-\frac{2}{5}\vec b\right|^2 \\ &=|\vec c|^2+\frac{49}{400}|\vec a|^2+\frac{4}{25}|\vec b|^2 -\frac{7}{10}\vec c\cdot \vec a -\frac{4}{5}\vec c\cdot \vec b +\frac{7}{25}\vec a\cdot \vec b \end{aligned} $$

ここで、与えられた値を代入すると、

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{OH}|^2 &=4+\frac{49}{400}\cdot 4+\frac{4}{25}\cdot 9 -\frac{7}{10}\cdot 3 -\frac{4}{5}\cdot 5 +\frac{7}{25}\cdot 4 \\ &=4+\frac{49}{100}+\frac{36}{25} -\frac{21}{10}-4+\frac{28}{25} \\ &=\frac{19}{20} \end{aligned} $$

したがって、

$$ |\overrightarrow{OH}|=\sqrt{\frac{19}{20}} =\frac{\sqrt{95}}{10} $$

である。

最後に体積を求める。

平面 $\alpha$ は底面 $CEFG$ の平面であり、底面の隣り合う辺は $\vec a,\vec b$ である。したがって底面積 $S$ は

$$ S=\sqrt{|\vec a|^2|\vec b|^2-(\vec a\cdot \vec b)^2} $$

である。

よって、

$$ S=\sqrt{4\cdot 9-4^2} =\sqrt{36-16} =\sqrt{20} =2\sqrt5 $$

である。

高さは $|\overrightarrow{OH}|$ だから、平行六面体の体積 $V$ は

$$ \begin{aligned} V &=S\cdot |\overrightarrow{OH}| \\ &=\sqrt{20}\cdot \sqrt{\frac{19}{20}} \\ &=\sqrt{19} \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題では、平面 $\alpha$ が $C$ を通り、方向ベクトルとして $\vec a,\vec b$ をもつことを見抜くのが初手である。

$H$ は平面 $\alpha$ 上の点なので、$\overrightarrow{OH}$ は $\vec c+s\vec a+t\vec b$ と表せる。一方で、$OH$ は平面 $\alpha$ に垂直なので、$\vec a,\vec b$ との内積がどちらも $0$ になる。この2条件で $s,t$ が決まる。

体積は、底面を $CEFG$ と見れば、底面積は $\vec a,\vec b$ が作る平行四辺形の面積であり、高さは $OH$ である。したがって、内積から底面積と高さをそれぞれ求めればよい。