数学C 空間ベクトル 問題 129 解説

方針・初手

内分点をすべて座標で表す。すると、同一平面性は平面方程式への代入で確認でき、$LM$ の長さは $s+t$ だけの式になる。最後の面積は、$LM$ が最小となる条件 $s+t=\dfrac{2}{3}$ のもとで、切り口が六角形になることに注意して計算する。

解法1

内分の比より、各点の座標は

$$ P=(1-s,0,s),\quad Q=(0,1-s,s) $$

$$ R=(t-1,0,-t),\quad S=(0,t-1,-t) $$

である。

(1)

4点 $P,Q,R,S$ が次の平面上にあることを示す。

$$ (s+t)(x+y)-(2-s-t)z=t-s $$

実際、$P=(1-s,0,s)$ を代入すると

$$ (s+t)(1-s)-(2-s-t)s=t-s $$

となる。同様に $Q,R,S$ を代入しても同じ等式が成り立つ。

また、$0<s<1,\ 0<t<1$ より $0<s+t<2$ であるから、この式は確かに1つの平面を表す。よって、4点 $P,Q,R,S$ は同一平面上にある。

(2)

$L$ は $PQ$ の中点、$M$ は $RS$ の中点であるから、

$$ L=\left(\frac{1-s}{2},\frac{1-s}{2},s\right) $$

$$ M=\left(\frac{t-1}{2},\frac{t-1}{2},-t\right) $$

である。したがって、

$$ \overrightarrow{LM} = \left(\frac{s+t-2}{2},\frac{s+t-2}{2},-(s+t)\right) $$

となる。

よって、

$$ \begin{aligned} LM^2 &= 2\left(\frac{s+t-2}{2}\right)^2+(s+t)^2\\ &= \frac{(s+t-2)^2}{2}+(s+t)^2 \end{aligned} $$

である。ここで $u=s+t$ とおくと、$0<u<2$ であり、

$$ \begin{aligned} LM^2 &= \frac{(u-2)^2}{2}+u^2\\ &= \frac{3}{2}u^2-2u+2 \end{aligned} $$

となる。平方完成すると、

$$ LM^2 = \frac{3}{2}\left(u-\frac{2}{3}\right)^2+\frac{4}{3} $$

である。

よって $LM$ は $u=\dfrac{2}{3}$、すなわち

$$ s+t=\frac{2}{3} $$

のとき最小となり、その最小値 $m$ は

$$ m=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}} $$

である。

(3)

(2) より、$LM=m$ となる条件は

$$ s+t=\frac{2}{3} $$

である。

このとき、(1) で得た平面の方程式は

$$ x+y-2z=\frac{3}{2}(t-s) $$

となる。ここで

$$ k=\frac{3}{2}(t-s) $$

とおくと、$s+t=\dfrac{2}{3}$ より

$$ k=1-3s=3t-1 $$

であり、$0<s,t<1$ から

$$ -1<k<1 $$

である。

正八面体の各頂点における $x+y-2z$ の値は

$$ A:-2,\quad B:1,\quad C:1,\quad D:-1,\quad E:-1,\quad F:2 $$

である。したがって、平面 $x+y-2z=k$ は、辺

$$ AB,\ AC,\ CD,\ DF,\ FE,\ EB $$

と交わる。よって切り口は六角形であり、その頂点は $P,Q,R,S$ に加えて、辺 $CD,EB$ 上の2点である。

辺 $EB$ 上の交点を $T$、辺 $CD$ 上の交点を $U$ とする。

平面上の点について

$$ d=x-y,\quad Z=z $$

とおく。また、平面上では $x+y=k+2Z$ であるから、

$$ x=\frac{k+2Z+d}{2},\quad y=\frac{k+2Z-d}{2},\quad z=Z $$

と表せる。

この対応における面積倍率を求める。写像

$$ \Phi(d,Z)=\left(\frac{k+2Z+d}{2},\frac{k+2Z-d}{2},Z\right) $$

に対して、

$$ \Phi_d=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0\right),\quad \Phi_Z=(1,1,1) $$

であるから、

$$ |\Phi_d\times \Phi_Z| = \sqrt{\frac{3}{2}} $$

である。したがって、実際の断面積 $X$ は、$(d,Z)$ 平面での面積を $\sqrt{\dfrac{3}{2}}$ 倍したものになる。

各頂点を $(d,Z)$ で表すと、

$$ P=(1-s,s),\quad Q=(-(1-s),s) $$

$$ T=(1,0),\quad U=(-1,0) $$

$$ S=(1-t,-t),\quad R=(-(1-t),-t) $$

である。

したがって、$(d,Z)$ 平面での六角形は、$Z=s,0,-t$ の3本の水平線上に頂点をもち、それぞれの横幅は

$$ 2(1-s),\quad 2,\quad 2(1-t) $$

である。

よって、$(d,Z)$ 平面での面積を $Y$ とすると、

$$ Y = \frac{s{2(1-s)+2}}{2} + \frac{t{2+2(1-t)}}{2} $$

すなわち

$$ Y=s(2-s)+t(2-t) $$

である。したがって、

$$ X = \sqrt{\frac{3}{2}}{s(2-s)+t(2-t)} $$

となる。

ここで $s+t=\dfrac{2}{3}$ より、

$$ \begin{aligned} s(2-s)+t(2-t) &= 2(s+t)-(s^2+t^2)\\ &= \frac{4}{3}-(s^2+t^2) \end{aligned} $$

である。また、

$$ \begin{aligned} s^2+t^2 &= \frac{(s+t)^2+(s-t)^2}{2}\\ &= \frac{2}{9}+\frac{(s-t)^2}{2} \end{aligned} $$

だから、

$$ s(2-s)+t(2-t) = \frac{10}{9}-\frac{(s-t)^2}{2} $$

となる。

よって $X$ は $s=t$ のとき最大となる。さらに $s+t=\dfrac{2}{3}$ であるから、

$$ s=t=\frac{1}{3} $$

である。

このとき、

$$ \begin{aligned} X_{\max} &= \sqrt{\frac{3}{2}}\cdot \frac{10}{9}\\ &= \frac{5\sqrt{6}}{9} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の中心は、内分点を座標で正確に表すことである。特に、$P,Q,R,S$ の4点だけを見て切り口を四角形と判断してはいけない。平面は正八面体の他の辺 $CD,EB$ も通るため、実際の切り口は六角形である。

(2) では $LM^2$ が $s+t$ だけで表されるため、最小条件はすぐに $s+t=\dfrac{2}{3}$ と分かる。(3) ではこの条件のもとで、断面を平面内の座標 $(d,Z)$ に移して面積を計算すると処理が簡潔になる。

答え

(1)

4点 $P,Q,R,S$ は平面

$$ (s+t)(x+y)-(2-s-t)z=t-s $$

上にあるので、同一平面上にある。

(2)

$$ m=\frac{2}{\sqrt{3}} $$

(3)

$$ s=t=\frac{1}{3} $$

のとき $X$ は最大となり、その値は

$$ X=\frac{5\sqrt{6}}{9} $$