数学C 空間ベクトル 問題 135 解説

方針・初手

四面体の条件は、$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ の長さと内積で与えられている。したがって、線分の長さは差ベクトルの大きさ、垂線の足は平面内の2本の方向ベクトルとの直交条件から求める。

解法1

$\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$，$\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$，$\overrightarrow{OC}=\mathbf{c}$ とおく。

条件より

$$ |\mathbf{a}|^2=13,\quad |\mathbf{b}|^2=25,\quad |\mathbf{c}|^2=25 $$

また

$$ \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=1,\quad \mathbf{a}\cdot\mathbf{c}=1,\quad \mathbf{b}\cdot\mathbf{c}=-11 $$

である。

まず

$$ \overrightarrow{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a} $$

なので、

$$ \begin{aligned} AB^2 &=|\mathbf{b}-\mathbf{a}|^2\\ &=|\mathbf{b}|^2-2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+|\mathbf{a}|^2\\ &=25-2\cdot 1+13\\ &=36 \end{aligned} $$

よって

$$ AB=6 $$

である。

次に、$H$ は平面 $ABC$ 上にあるから、問題文の通り

$$ \overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC} $$

と書ける。

ここで

$$ \overrightarrow{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a},\quad \overrightarrow{AC}=\mathbf{c}-\mathbf{a} $$

である。まずこれらの内積を求める。

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{AB}|^2 &=|\mathbf{b}-\mathbf{a}|^2\\ &=36 \end{aligned} $$

同様に、

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{AC}|^2 &=|\mathbf{c}-\mathbf{a}|^2\\ &=|\mathbf{c}|^2-2\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}+|\mathbf{a}|^2\\ &=25-2\cdot 1+13\\ &=36 \end{aligned} $$

また、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} &=(\mathbf{b}-\mathbf{a})\cdot(\mathbf{c}-\mathbf{a})\\ &=\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}-\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}-\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}+|\mathbf{a}|^2\\ &=-11-1-1+13\\ &=0 \end{aligned} $$

したがって、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ は垂直である。

さらに、

$$ \begin{aligned} \mathbf{a}\cdot\overrightarrow{AB} &=\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}-\mathbf{a})\\ &=1-13\\ &=-12 \end{aligned} $$

同様に、

$$ \begin{aligned} \mathbf{a}\cdot\overrightarrow{AC} &=\mathbf{a}\cdot(\mathbf{c}-\mathbf{a})\\ &=1-13\\ &=-12 \end{aligned} $$

$OH$ は平面 $ABC$ に垂直であるから、平面内の方向ベクトル $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ の両方に垂直である。よって

$$ \overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{AB}=0,\quad \overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{AC}=0 $$

が成り立つ。

まず

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{AB} &=(\mathbf{a}+s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC})\cdot\overrightarrow{AB}\\ &=\mathbf{a}\cdot\overrightarrow{AB} +s|\overrightarrow{AB}|^2 +t(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB})\\ &=-12+36s \end{aligned} $$

であるから、

$$ -12+36s=0 $$

より

$$ s=\frac{1}{3} $$

である。

同様に、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{AC} &=(\mathbf{a}+s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC})\cdot\overrightarrow{AC}\\ &=\mathbf{a}\cdot\overrightarrow{AC} +s(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}) +t|\overrightarrow{AC}|^2\\ &=-12+36t \end{aligned} $$

であるから、

$$ -12+36t=0 $$

より

$$ t=\frac{1}{3} $$

である。

最後に体積を求める。$\triangle ABC$ は

$$ AB=AC=6,\quad \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0 $$

を満たすので、直角二等辺三角形である。したがって面積は

$$ \frac{1}{2}\cdot 6\cdot 6=18 $$

である。

また、

$$ \overrightarrow{OH} = \mathbf{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} +\frac{1}{3}\overrightarrow{AC} $$

だから、

$$ \begin{aligned} OH^2 &= \left|\mathbf{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} +\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right|^2\\ &= |\mathbf{a}|^2 +\frac{2}{3}\mathbf{a}\cdot\overrightarrow{AB} +\frac{2}{3}\mathbf{a}\cdot\overrightarrow{AC} +\frac{1}{9}|\overrightarrow{AB}|^2 +\frac{1}{9}|\overrightarrow{AC}|^2 +\frac{2}{9}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\\ &= 13+\frac{2}{3}(-12)+\frac{2}{3}(-12) +\frac{1}{9}\cdot 36+\frac{1}{9}\cdot 36 +\frac{2}{9}\cdot 0\\ &=13-8-8+4+4\\ &=5 \end{aligned} $$

よって、高さは

$$ OH=\sqrt{5} $$

である。

したがって四面体 $OABC$ の体積は

$$ \frac{1}{3}\cdot 18\cdot \sqrt{5}=6\sqrt{5} $$

である。

解説

この問題では、平面 $ABC$ 上の点を

$$ \overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC} $$

と表している点が重要である。これは、点 $A$ を基準にして平面 $ABC$ 上の任意の点を表す標準的な形である。

また、$OH$ が平面 $ABC$ に垂直であることは、平面内の独立な2本の方向ベクトル $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ の両方に垂直であることと同値である。したがって、

$$ \overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{AB}=0,\quad \overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{AC}=0 $$

を立てればよい。

本問では、計算すると $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$ となるため、$\triangle ABC$ が直角三角形であることも自然に分かる。このため、底面積と高さを使って体積を求めるのが最も簡潔である。

答え

(1)

$$ AB=6 $$

(2)

$$ s=\frac{1}{3},\quad t=\frac{1}{3} $$

(3)

$$ 6\sqrt{5} $$