数学C 空間ベクトル 問題 141 解説

注意

問題文中の点 $N$ の定義は、文脈上

$$ \overrightarrow{ON}=u\overrightarrow{OC} $$

として解釈する。

方針・初手

$O,A,B,C$ が同一平面上にないので、$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ は一次独立である。

したがって、任意の点 $X$ を

$$ \overrightarrow{OX}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC} $$

と表せば、$x,y,z$ は空間内の座標として扱える。

点 $L,M,N$ はそれぞれこの座標で

$$ L(s,0,0),\quad M(0,t,0),\quad N(0,0,u) $$

であるから、平面 $LMN$ の方程式を求め、条件

$$ \frac{1}{s}+\frac{2}{t}+\frac{3}{u}=4 $$

を用いて、常に通る点を見つける。

解法1

$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ を基底として、点 $X$ を

$$ \overrightarrow{OX}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC} $$

と表す。

このとき

$$ L(s,0,0),\quad M(0,t,0),\quad N(0,0,u) $$

である。

$s,t,u$ はいずれも $0$ でないから、3点 $L,M,N$ を通る平面は切片形で

$$ \frac{x}{s}+\frac{y}{t}+\frac{z}{u}=1 $$

と表される。

実際、点 $L(s,0,0)$ を代入すると左辺は $1$、点 $M(0,t,0)$、点 $N(0,0,u)$ についても同様に左辺は $1$ となる。よってこの平面は $L,M,N$ を通る。

ここで

$$ \frac{1}{s}+\frac{2}{t}+\frac{3}{u}=4 $$

が与えられている。

この条件を平面の式に対応させるため、点 $P$ を

$$ \overrightarrow{OP} = \frac{1}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{OC} $$

で定める。

すなわち、$P$ の座標は

$$ P\left(\frac14,\frac12,\frac34\right) $$

である。

この点 $P$ が平面 $LMN$ 上にあることを確かめる。平面 $LMN$ の方程式に $x=\frac14,\ y=\frac12,\ z=\frac34$ を代入すると、

$$ \frac{1/4}{s}+\frac{1/2}{t}+\frac{3/4}{u} = \frac14\left(\frac{1}{s}+\frac{2}{t}+\frac{3}{u}\right) $$

である。条件より

$$ \begin{aligned} \frac14\left(\frac{1}{s}+\frac{2}{t}+\frac{3}{u}\right) &= \frac14\cdot 4\\ &= 1 \end{aligned} $$

となる。

したがって、点 $P$ は平面 $LMN$ の方程式を満たす。ゆえに、条件を満たすどのような $s,t,u$ に対しても、平面 $LMN$ は一定の点

$$ P\left(\frac14,\frac12,\frac34\right) $$

を通る。

解説

この問題の本質は、$O,A,B,C$ が同一平面上にないことから、$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ を空間の基底として使える点にある。

点 $L,M,N$ はそれぞれ3本の座標軸上の点になるので、平面 $LMN$ は

$$ \frac{x}{s}+\frac{y}{t}+\frac{z}{u}=1 $$

という切片形で表される。

条件

$$ \frac{1}{s}+\frac{2}{t}+\frac{3}{u}=4 $$

は、平面の係数 $\frac1s,\frac1t,\frac1u$ に関する一次条件である。これをそのまま平面の式に合わせるために、座標を

$$ \left(\frac14,\frac12,\frac34\right) $$

と選べばよい。

係数 $1,2,3$ を $4$ で割った形になっていることが、この問題の固定点を見抜く鍵である。

答え

平面 $LMN$ は、$s,t,u$ の値によらず一定の点 $P$ を通る。

その点 $P$ は

$$ \overrightarrow{OP} = \frac{1}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{OC} $$

で定まる点である。